A primera vista, este problema puede parecer desalentador, pero resulta que no es tan malo en el camino. Se puede abordar con herramientas aritméticas modulares básicas (pequeño teorema de Fermat y consideraciones genéricas sobre divisibilidad) y el clásico LTE (lema Lifting The Exponent). Esta última es una herramienta poderosa que a menudo resulta útil para resolver ecuaciones de diofantina exponenciales (recomiendo consultar este documento [1] antes de continuar).
Primera observación: el numerador es claramente un número impar, por lo que el denominador también debe ser impar (los múltiplos de números pares siempre son pares, por lo que no hay forma de que [matemática] 2 ^ n + 1 [/ matemática] pueda ser múltiplo de un par número).
Entonces [math] n [/ math] es impar. Genial, pero apenas hemos arañado la superficie. Ahora viene la parte difícil.
Deje que [math] p [/ math] sea el divisor primo más pequeño de [math] n [/ math] ([math] p \ geq {3} [/ math] porque [math] n [/ math] es impar). Llamemos a [math] x [/ math] y [math] y [/ math] los enteros positivos no nulos más pequeños de modo que
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[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ begin {cases} 2 ^ x \ equiv {-1} \ mod {p} \\ 2 ^ y \ equiv {1} \ mod {p} \ end {cases} \ end {align} \ tag {1} [/ math]
Debido a la propiedad [math] \ displaystyle 2 ^ a \ equiv {2 ^ {a \ mod {p-1}}} \ mod {p} [/ math], podemos suponer WLOG [math] x, y \ leq {p-1} [/ matemáticas].
¿Cómo sabemos que existen tales números? Bueno, [math] y [/ math] debería ser lo más obvio, ya que según el pequeño teorema de Fermat [math] 2 ^ {p-1} \ equiv {1} \ mod {p} [/ math]. ¿Qué tal [matemáticas] x [/ matemáticas]?
Si [math] p | n \ Rightarrow {p | n ^ 2} [/ math] y [math] n ^ 2 | 2 ^ n + 1 [/ math] entonces [math] p | 2 ^ n + 1 \ Rightarrow {2 ^ n \ equiv {-1} \ mod {p}} [/ math], por lo que [math] x [/ math] también debe existir.
Ahora reescriba [matemáticas] n = ay + b [/ matemáticas] y [matemáticas] n = cx + d [/ matemáticas], con [matemáticas] 0 \ leq {b} <{y} [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 \ leq {d} <{x} [/ math]. Sustituir y deducir que
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle 2 ^ n \ equiv {2 ^ {ay + b}} \ equiv {(2 ^ y) ^ a \ cdot {2 ^ b}} \ equiv {2 ^ b} \ equiv {-1} \ mod {p} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces [math] x \ leq {b} <y [/ math] (hemos declarado que es el número entero más pequeño para el cual [math] 2 ^ x \ equiv {-1} \ mod {p} [/ math], entonces [math] b [/ math] debe ser más grande).
Del mismo modo, sustituyendo por [matemáticas] x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle 2 ^ {n} \ equiv {2 ^ {cx} + d} \ equiv {(2 ^ x) ^ c \ cdot {2 ^ d}} \ equiv {(- 1 ) ^ c2 ^ d} \ equiv {-1} \ mod {p} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Ahora, si [math] d> 0 [/ math] nos encontramos con algunos problemas, porque si [math] c [/ math] es par entonces [math] 2 ^ d \ equiv {-1} \ mod {p} [ / math] y [math] d <x [/ math], lo que contradice la minimidad de [math] x [/ math]. Del mismo modo, si [math] c [/ math] es impar, contradicemos la minimidad de [math] y [/ math] porque obtendríamos [math] 2 ^ d \ equiv {1} \ mod {p} [/ math ] y [math] d <x <y \ Rightarrow {d <y} [/ math].
Por lo tanto, no hay otra opción excepto [matemática] d = 0 [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] x | n [/ matemática], pero sabemos que [matemática] x <p [/ matemática] y [matemática] p [/ math] es el divisor más pequeño de [math] n [/ math], entonces [math] x = 1 [/ math] y [math] 2 ^ x \ equiv {2 ^ 1} \ equiv {-1} \ mod {p} [/ math], de donde [math] p = 3 [/ math].
Acabamos de deducir que [matemáticas] 3 | n [/ matemáticas] y que [matemáticas] 3 [/ matemáticas] es el divisor más pequeño de [matemáticas] n [/ matemáticas] (excepto [matemáticas] 1 [/ matemáticas], claramente). Ahora por LTE
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_ {3} (2 ^ n + 1) = v_3 (2 + 1) + v_3 (n) = 1 + v_3 (n) \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]
y
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_ {3} (n ^ 2) = 2 \ cdot {v_3 (n)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Ahora si [matemática] n ^ 2 | 2 ^ n + 1 [/ matemática] necesariamente
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_3 (n ^ 2) \ leq {v_3 (2 ^ n + 1)} \ Rightarrow {2 \ cdot {v_3 (n)} \ leq {v_3 (n) +1} } \ Rightarrow {v_3 (n) \ leq {1}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
y porque [math] 3 | n \ Rightarrow {v_3 (n) \ geq {1}} [/ math] deducimos que [math] v_3 (n) = 1 [/ math].
Reescribe [math] n = 3u [/ math], donde [math] u [/ math] no es divisible por [math] 3 [/ math]. Sea [math] q [/ math] el factor primo más pequeño de [math] u [/ math] (es decir, el factor más pequeño de [math] n [/ math] después de [math] 3 [/ math]) y [math ] i [/ math] y [math] j [/ math] los enteros positivos más pequeños (ambos, como se mostró antes, [math] <q [/ math]) de modo que
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ begin {cases} 2 ^ i \ equiv {-1} \ mod {q} \\ 2 ^ j \ equiv {1} \ mod {q} \ end {cases} \ end {align} \ tag {2} [/ math]
Como lo hicimos antes, podemos demostrar que [math] i [/ math] existe y que [math] i <j [/ math].
Como antes, podemos deducir que [matemáticas] i | n [/ matemáticas] y [matemáticas] i <q [/ matemáticas], entonces [matemáticas] i = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] i = 3 [/ matemáticas ] (porque [matemática] q [/ matemática] es el divisor más pequeño de [matemática] n [/ matemática] excepto [matemática] 3 [/ matemática]).
Al verificar estos dos valores por separado, vemos que ninguno de ellos funciona:
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ begin {cases} 2 ^ 1 \ equiv {-1} \ mod {q} \ Rightarrow {q = 3} \\ 2 ^ 3 \ equiv {1} \ mod {q } \ Rightarrow {q | 8} \ Rightarrow {q = 2} \ end {cases} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
y ninguno de ellos es aceptable porque [math] q> 3 [/ math].
Entonces [math] u [/ math] no puede tener ningún fator principal, es decir, [math] u = 1 [/ math]
Deducimos que [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas] es la única solución.
Notas al pie
[1] Levantando al exponente | Wiki Brillante de Matemáticas y Ciencias