¿Para qué valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] x (x-12) [/ matemáticas] un cuadrado perfecto? ¿Y para qué valores de [matemáticas] y [/ matemáticas] es [matemáticas] y (y-16) [/ matemáticas] un cuadrado perfecto? ¿Cómo?

Answer 1

Voy a suponer [matemáticas] x, y \ in \ mathbb Z [/ matemáticas]. Así, [math] x \ notin \ {1,2,3, \ ldots, 11 \} [/ math] en el primer caso, y [math] y \ notin \ {1,2,3, \ ldots, 15 \ } [/ math] en el segundo caso. Observe que [matemática] x = 0,12 [/ matemática] en el primer caso, y [matemática] y = 0,16 [/ matemática] en el segundo caso brinde soluciones.

Las transformaciones [math] x \ mapsto 12-x [/ math] y [math] y \ mapsto 16-y [/ math] mapean las soluciones positivas a sus contrapartes negativas . Por lo tanto, podemos considerar solo las soluciones positivas para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas].

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Suponga que [matemática] m ^ 2 = x (x-12) = (x-6) ^ 2–36 [/ matemática] con [matemática] x> 12 [/ matemática]. Así [matemáticas] 36 = (x-6) ^ 2-m ^ 2 = (x-6 + m) (x-6-m) [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] x-6 [/ matemáticas] y [math] m [/ math] debe ser de la misma paridad. Como [math] 36 [/ math] es [math] 4 [/ math] veces un número entero impar , y [math] x-6 + m [/ math], [math] x-6-m [/ math] son de la misma paridad, la única posibilidad es [matemática] x-6 + m = 18 [/ matemática] y [matemática] x-6-m = 2 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] x-6 = 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 16 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] x (x-12) [/ math] es un cuadrado si y solo si [math] x \ in \ {0,12,16, -4 \} [/ math].

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Comenzamos de la misma manera en el segundo caso, pero hay otras posibilidades aquí.

Suponga que [matemáticas] n ^ 2 = y (y-16) = (y-8) ^ 2–64 [/ matemáticas] con [matemáticas] y> 16 [/ matemáticas]. Así [matemáticas] 64 = (y-8) ^ 2-n ^ 2 = (y-8 + n) (y-8-n) [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] y-8 [/ matemáticas] y [matemática] n [/ matemática] debe ser de la misma paridad. Como [matemáticas] y-8 + n [/ matemáticas], [matemáticas] y-8-n [/ matemáticas] son ​​de la misma paridad, [matemáticas] (y-8 + n, y-8-n) \ en \ {(32,2), (16,4) \} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] y-8 = 17 [/ matemática] o [matemática] 10 [/ matemática], y [matemática] y = 25 [/ matemática] o [matemática] 18 [/ matemática].

Por lo tanto, [math] y (y-16) [/ math] es un cuadrado si y solo si [math] y \ in \ {0,16,25,18, -9, -2 \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Completar el cuadrado

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\ x ^ 2-12x = y ^ 2 \ Leftrightarrow {x ^ 2-12x + 36 = y ^ 2 + 36} \ Leftrightarrow {(x-6) ^ 2 = y ^ 2 + 36} \ Leftrightarrow {(x-6) ^ 2-y ^ 2 = 36} \ Leftrightarrow {(xy-6) (x + y-6) = 36} \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]

Ahora, [math] (xy-6) [/ math] y [math] (x + y-6) [/ math] deben ser divisores de [math] 36 [/ math].

Si dejamos que [matemáticas] a = xy-6 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = x + y-6 [/ matemáticas], entonces cualquier par [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] de divisores de [ matemática] 36 [/ matemática] tal que [matemática] ab = 36 [/ matemática] y [matemática] a \ equiv {b} \ mod {2} [/ matemática] (porque [matemática] x-y + 6 \ equiv {x + y-6} \ mod {2} [/ math]) produce una solución en [math] x, y [/ math], a saber

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ begin {cases} x = \ frac {a + b} {2} +6 \\ y = \ frac {ba} {2} \ end {cases} \ end {align } \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, la solución general es [matemática] (x, y) = \ left (\ frac {a + b} {2} +6, \ frac {ba} {2} \ right) [/ math], donde [math] a, b \ in {\ mathbb {Z}} [/ math], [math] ab = 36 [/ math] y

[matemáticas] a \ equiv {b} \ mod {2} [/ matemáticas].

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Del mismo modo para

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle y ^ 2-16y-x ^ 2 = 0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

puede mostrar que la solución general viene dada por [math] (y, x) = \ left (\ frac {a + b} {2} +8, \ frac {ba} {2} \ right) [/ math] , donde [matemática] a, b \ en {\ mathbb {Z}} [/ matemática], [matemática] ab = 64 [/ matemática] y [matemática] a \ equiv {b} \ mod {2} [/ matemática ]

Answer 3

Sea [matemáticas] x (x-12) = t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ -12 xt ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Resolviendo para x, [matemáticas] x = \ dfrac {12 \ pm \ sqrt {12 ^ 2 + 4t ^ 2}} {2} = 6 \ pm \ sqrt {t ^ 2 + 6 ^ 2} [/ matemáticas]

Es obvio que la solución entera [matemática] t ^ 2 + 6 ^ 2 [/ matemática] debe ser un cuadrado perfecto.

Para esto tenemos que referirnos a los trillizos pitagóricos.

3,4,5 es un triplete principal. 6 siendo múltiplo de 3, podemos hacer 6,8, 10 un triplete pitagórico. [Matemáticas] t = 8 [/ matemáticas] da [matemáticas] x = 6 \ pm 10 = 16 [/ matemáticas] o [matemáticas] -4 [/matemáticas].

Además, también se puede incluir la solución trivial t = 0 que da [matemáticas] x = 6 \ pm 6 = 12 [/ matemáticas] o [matemáticas] 0 [/ matemáticas]

El conjunto de soluciones es [math] \ boxed {(- 4,0,12,16)} [/ math]

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Ahora deje que [math] y (y-16) = u ^ 2 [/ math]

[matemáticas] y ^ 2–16 yu ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {16 \ pm \ sqrt {16 ^ 2 + 4u ^ 2}} {2} = 8 \ pm \ sqrt {u ^ 2 + 8 ^ 2} [/ matemáticas]

Es obvio que la solución entera [matemática] u ^ 2 + 8 ^ 2 [/ matemática] debe ser un cuadrado perfecto.

hay 2 trillizos que involucran a 8. Son [matemáticas] (6,8,10) [/ matemáticas] y [matemáticas] (8,15,17). [/ matemáticas]

Para el primero tenemos [matemáticas] y = 8 \ pm 10 = 18 [/ matemáticas] o – [matemáticas] 2 [/ matemáticas]

Para el segundo tenemos y = 8 \ pm 17 = 25 o -9.

para el trivial u = 0 [matemáticas] y = 8 \ pm 8 = 16 [/ matemáticas] o 0.

El conjunto de soluciones es [math] \ boxed {(- 9, -2,0,16,18,25)} [/ math]