¿Qué significa que todos los enteros positivos hasta 78 se pueden escribir como la suma de 18 cuartos poderes?

Answer 1

Bueno, significa que para cada [math] n \ in \ {1,2,3, \ ldots, 78 \} [/ math], existen enteros [math] a_1, a_2, a_3, \ ldots, a_ {18 } [/ math] tal que

[matemática] n = a_1 ^ 4 + a_2 ^ 4 + a_3 ^ 4 + \ cdots + a_ {18} ^ 4 [/ matemática].

[matemáticas] 78 [/ matemáticas] es importante aquí; [math] 79 [/ math] es una suma de [math] 19 [/ math] cuartos poderes, y es el número más pequeño que requiere tantos cuartos poderes. Y no hay ninguno que requiera más .

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Así es como puedes probar esto.

Deje [math] n \ in \ {1,2,3, \ ldots, 78 \} [/ math]. Queremos mostrar la existencia de enteros [matemática] x_1, \ ldots, x_ {18} [/ matemática] de modo que [matemática] n = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {18} x_i ^ 4 [/ matemática ]

Como [math] 3 ^ 4> 78 [/ math], debemos elegir cada [math] x_i [/ ​​math] de [math] 0,1,2 [/ math]. Escriba [math] n = 16q + r [/ math], donde [math] r \ in \ {0,1,2, \ ldots, 15 \} [/ math]. Entonces

[matemática] n = \ underbrace {2 ^ 4 + \ cdots + 2 ^ 4} _ {q \: \ text {times}} + \ underbrace {1 ^ 4 + \ cdots + 1 ^ 4} _ {r \: \ text {veces}} [/ math]

requiere [matemática] q + r [/ matemática] no cero [matemática] x_i [/ ​​matemática] ‘s. Como [math] q \ le 4 [/ math] y [math] r \ le 15 [/ math], la única posibilidad cuando se requieren [math] 4 + 15 [/ math] términos distintos de cero es cuando [math] n = (4 \ cdot 2 ^ 4) + (15 \ cdot 1 ^ 4) = 79 [/ matemática].

Así, cada positivo [matemáticas] n \ le 78 [/ matemáticas] es una suma de a lo sumo [matemáticas] 18 [/ matemáticas] cuartos poderes. Además, [matemáticas] 79 [/ matemáticas] requiere [matemáticas] 19 [/ matemáticas] cuartos poderes, y es el número más pequeño . Por cierto, cada entero positivo es una suma de [matemática] 19 [/ matemática] cuarta potencia, es decir, [matemática] g (4) = 19 [/ matemática], y cada entero positivo suficientemente grande es una suma de [matemática] 16 [/ matemáticas] cuartos poderes, es decir, [matemáticas] G (4) = 16 [/ matemáticas].

Para más información sobre esto, lea el problema de Waring: Wikipedia. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]