Me gusta la respuesta de Sridhar Ramesh lo mejor, pero este problema es razonablemente sencillo de hacer de manera directa.
Primero, observemos que [matemáticas] \ frac {2 ^ {100}} {1000} = \ frac {2 ^ {97}} {125} [/ matemáticas].
Por supuesto, esta igualdad no significa que las dos fracciones tengan el mismo resto. Sin embargo, si escribimos:
[math] \ frac {2 ^ {97}} {125} = a + \ frac b {125} [/ math] con enteros [math] a, b [/ math], entonces se deduce que
- ¿Cuál es -1% de 256 donde% es un operador de módulo?
- Dado N = 21P53Q4, ¿cuáles serán los pares ordenados (P, Q) de modo que N sea divisible por 44?
- ¿Fueron todos los hallazgos de Ramanujan antes de conocer a Hardy simplemente una conjetura?
- ¿Es difícil probar el último teorema de Fermat para el caso n = 3?
- ¿La prueba de primalidad AKS demuestra que los primos están en P para cualquier anillo conmutativo? Si no, ¿se puede extender para hacerlo?
[matemáticas] \ frac {2 ^ {100}} {1000} = a + \ frac b {125} = a + \ frac {8b} {1000} [/ matemáticas] para que tengamos (o podamos encontrar de inmediato) el resto buscar.
Ahora, [math] 128 \ mod 125 \ equiv 2 ^ 7 \ mod 125 \ equiv 3 \ mod 125 [/ math]. La proximidad de una potencia de dos a [matemática] 125 [/ matemática] simplifica el cálculo.
Entonces,
[matemáticas] 2 ^ {97} \ mod 125 \ equiv \ left (2 ^ {7} \ right) ^ {14} \ cdot 2 ^ {- 1} \ mod 125 \ equiv 2 ^ {- 1} \ cdot 3 ^ {14} \ mod 125 [/ matemáticas]
Próximo,
[matemáticas] 3 ^ {5} \ mod 125 \ equiv (250-7) \ mod 125 \ equiv -7 \ mod 125 [/ matemáticas].
Entonces,
[matemáticas] 2 ^ {- 1} \ cdot 3 ^ {14} \ mod 125 \ equiv 2 ^ {- 1} \ cdot 3 ^ {- 1} \ cdot (3 ^ 5) ^ 3 \ mod 125 \ equiv 2 ^ {- 1} \ cdot 3 ^ {- 1} \ cdot (-7) ^ 3 \ mod 125 [/ matemática]
Darse cuenta de
[matemáticas] (- 7) ^ 3 \ mod 125 \ equiv (-375 + 32) \ mod 125 \ equiv 32 \ mod 125 [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] 2 ^ {- 1} \ cdot (-7) ^ 3 \ mod 125 \ equiv 2 ^ {- 1} \ cdot 32 \ mod 125 \ equiv 16 \ mod 125 [/ matemáticas]
Finalmente, vemos que
[matemáticas] 2 ^ {97} \ mod 125 \ equiv 2 ^ {- 1} \ cdot 3 ^ {- 1} \ cdot (-7) ^ 3 \ mod 125 \ equiv 3 ^ {- 1} \ cdot 16 \ mod 125 [/ matemáticas]
Como [math] 3 [/ math] no divide [math] 16 [/ math], no obtenemos directamente el resultado, pero notamos que [math] 3 [/ math] divide la suma de [math] 16 [/ math] y [math] 125 [/ math] así que en su lugar, vemos que:
[matemáticas] 2 ^ {97} \ mod 125 \ equiv 3 ^ {- 1} \ cdot 16 \ mod 125 \ equiv 3 ^ {- 1} \ cdot (125 + 16) \ mod 125 \ equiv 47 \ mod 125 [ /matemáticas]
Finalmente, sabemos que
[matemáticas] 2 ^ {97} \ mod 125 \ equiv 47 \ mod 125 \ \ implica \ 2 ^ {100} \ mod 1000 \ equiv 8 \ cdot 47 \ mod 1000 \ equiv 376 \ mod 1000 [/ matemáticas]
Espero que este enfoque (intencionalmente) poco elegante ayude a enfatizar el poder del teorema del resto chino, que es la herramienta en el corazón de la solución mucho más corta de Sridhar que uní anteriormente.