¿Es difícil probar el último teorema de Fermat para el caso n = 3? Educación te da un futuro mejor

“Difícil” está en el ojo del besolver.

El “último teorema de Fermat” (FLT) para el exponente 3 es la afirmación de que

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 [/ matemáticas]

no tiene soluciones en enteros distintos de cero. Sería un rompecabezas muy difícil para la gran mayoría de los estudiantes de secundaria, incluso aquellos que se destacan en las olimpiadas de matemáticas como la OMI. No es un problema fácil de resolver desde los primeros principios, como se puede ver claramente por la longitud irrazonable de esta misma respuesta de Quora.

Sin embargo, las pruebas de este teorema han existido durante más de 200 años, y se entienden muy bien y no son difíciles de seguir si tiene los antecedentes necesarios. Se consideran bastante elementales, como lo demuestran las pruebas matemáticas, y se espera que todo estudiante serio de teoría de números los entienda bien e incluso sea capaz de producirlos desde cero si es necesario.

No llamaría a esto un teorema “fácil”: incluso con toda la maquinaria de la teoría de números algebraicos, todavía es un poco intrincado. Pero tampoco llamaría a algo “difícil” si se hace en algunas páginas de casi todos los libros de texto sobre el tema (la prueba de Wiles de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ahora eso es difícil).

Será bueno que la prueba esté en Quora, así que hagámoslo. Pero primero, un poco de historia.

Contrariamente a la creencia popular que prevalece masivamente, Fermat nunca declaró su “último teorema” de que [matemática] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemática] no tiene soluciones enteras distintas de cero cuando [matemática] n> 2 [/ matemática] . En ninguno de sus muchos escritos y cartas, alguna vez afirmó saber cómo probarlo. La famosa nota marginal (“cuyo margen es demasiado estrecho”) fue publicada por su hijo después de su muerte, y si de hecho Fermat la escribió, nunca repitió esa afirmación en público o en correspondencia.

Expresó los casos de exponente 3 y 4 con bastante frecuencia, y los presentó como un desafío para sus contemporáneos, comenzando alrededor de 1636. No sabemos si realmente supo probar el caso [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]. Publicó una prueba para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], que es mucho más fácil. La fascinante historia del malentendido de las circunstancias del nacimiento de FLT probablemente esté fuera del alcance de esta pregunta, pero puede ver algunos de los aspectos más destacados aquí.

En cualquier caso, Fermat no fue la primera persona (loc. Cit.) En considerar la ecuación [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 [/ matemáticas], pero ciertamente la hizo famosa.

El primer reclamo serio para una prueba fue presentado por Euler. Ya en 1753 afirmó tener una (en una carta a Goldbach [1], fechada el 4 de agosto), pero el primer relato escrito conocido está en su “Vollständige Anleitung zur Algebra “ de 1770, y está incompleta. La mayoría de los expertos creen que tenía una prueba completa (el vacío se puede llenar con los resultados de un documento suyo de 1760), o al menos habría podido producir uno si se le hubiera señalado el vacío. Ver Bergmann [2] y Mačys [3].

Al momento de escribir este artículo, el artículo de Wikipedia que analiza las pruebas de FLT para exponentes pequeños cubre el caso [matemática] n = 3 [/ matemática] con referencia a “Un lema crucial” que no está probado en ninguna parte, y este es de hecho el mismo vacío presente en la prueba de 1770 de Euler. Es posible cerrar esta brecha con un análisis cuidadoso de la forma cuadrática [matemáticas] X ^ 2 + 3Y ^ 2 [/ matemáticas], pero en la prueba que reproduzco a continuación adoptaré un enfoque más moderno, más cercano a la prueba de Gauss .

Cabe señalar que Gauss no era un gran admirador de FLT. En una carta de 1816 a Olbers, escribió (ver Ribenboim [4]):

Confieso que el teorema de Fermat como una proposición aislada tiene muy poco interés para mí, porque podría establecer fácilmente una multitud de tales proposiciones, que no podría probar ni descartar.

Creo que es útil para los estudiantes modernos entender esto. FLT en sí mismo (“como una propuesta aislada”) es, de hecho, bastante desprovisto de interés. Por supuesto, su estatus legendario motivó a muchos matemáticos prominentes a atacarlo, desarrollando así teorías magníficas que se aplicarían a innumerables otros problemas y crearían todo el campo de la teoría de números moderna.

Correcto, suficiente historia. Empecemos.

contorno

El plan de ataque es muy común en la teoría de números. Tenemos una ecuación que se parece a un alto poder que es igual a la suma de varias cosas:

[matemáticas] X ^ n = A + B + C + \ ldots [/ matemáticas]

Intentamos factorizar el lado derecho para que se convierta en un producto, en lugar de una suma.

[matemáticas] X ^ n = F \ cdot G \ cdot H \ cdots [/ math]

Luego, tratamos de mostrar que [matemática] F, G, H [/ matemática] y demás son relativamente primos, lo que obligaría a cada uno de ellos a ser [matemática] n ^ \ text {th} [/ matemática] poder. Esto generalmente resulta ser un requisito muy fuerte que es completamente imposible o puede usarse para obtener una solución más pequeña de la ecuación original. De hecho, dado que logramos demostrar que [matemática] F [/ matemática] en sí misma es algo [matemática] x ^ n [/ matemática], es posible que podamos manipular cosas para tener

[matemáticas] x ^ n = a + b + c + \ ldots [/ matemáticas]

que es una ecuación que se parece mucho a la que hemos empezado, pero claramente, con una [matemática] x [/ matemática] más pequeña que [matemática] X [/ matemática]. Por “descenso infinito”, llegamos a una contradicción: si existiera alguna solución, habría una con un mínimo [matemático] X [/ matemático], contradiciendo el paso de descenso.

Para llevar a cabo el primer paso, factorizando el lado derecho, generalmente necesitamos pasar de enteros viejos simples a algún anillo de números , que es un conjunto de números complejos que incluye los enteros habituales pero con un montón de nuevos y emocionantes, y donde todavía se aplican muchas (aunque no todas) de las reglas o la aritmética.

En nuestro caso, la ecuación es

[matemáticas] X ^ 3 = Y ^ 3 + Z ^ 3 [/ matemáticas]

Por supuesto, también podemos escribirlo como

[matemáticas] Z ^ 3 = X ^ 3-Y ^ 3 = (XY) (X ^ 2 + XY + Y ^ 2) [/ matemáticas]

que factoriza parcialmente el lado derecho. Euler utilizó una factorización ligeramente diferente, pero esto todavía lo dejó con la brecha de tener que analizar las formas cuadráticas que emergen. Aquí, preferimos factorizar la cosa completamente , introduciendo una raíz cúbica de la unidad.

Los enteros de Eisenstein

Los números complejos generalmente se definen como el conjunto de expresiones [matemáticas] a + bi [/ matemáticas] donde [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son números reales y [matemáticas] i [/ matemáticas] es una nueva entidad que satisface [ matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. Ahora haremos algo muy similar introduciendo una entidad [math] \ omega [/ math] y observando las expresiones [math] a + b \ omega [/ math] donde [math] a, b [/ math] son enteros mientras que [math] \ omega [/ math] satisface [math] \ omega ^ 3 = 1 [/ math] pero [math] \ omega \ neq 1 [/ math]. Note bien: [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son enteros ahora, no números reales arbitrarios.

El conjunto de todas esas expresiones forma un anillo que llamaremos [math] R [/ math]. Es un “anillo” porque puede sumar, restar y multiplicar esos números, pero no necesariamente dividirlos, al igual que los enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math]. Los elementos de [math] R [/ math] a veces se llaman Eisenstein Integers en honor a Gotthold Eisenstein, una de las superestrellas matemáticas del siglo XIX que no vivió hasta los 30 años.

Si se siente cómodo con los números complejos, simplemente puede tomar [math] \ omega [/ math] para ser

[matemáticas] \ displaystyle \ omega = e ^ {2 \ pi i / 3} = \ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Los números [matemática] a + b \ omega [/ matemática] se ven así, en el plano complejo:

Los enteros de Eisenstein son los puntos rojos / verdes (los rojos son las “unidades”, como explicaremos más adelante). Presta especial atención a ese verde [matemático] 1- \ omega [/ matemático] sentado allí en la parte inferior derecha; lo usaremos mucho

Para sentirse cómodo trabajando con números enteros de Eisenstein, primero debe notar una propiedad muy importante del número [math] \ omega [/ math]:

[matemáticas] \ omega ^ 2 + \ omega + 1 = 0 [/ matemáticas].

Esto se deduce inmediatamente del hecho de que [math] \ omega ^ 3-1 = 0 [/ math], que es lo mismo que [math] (\ omega-1) (\ omega ^ 2 + \ omega + 1) = 0 [/matemáticas]. Como decretamos que [math] \ omega \ neq 1 [/ math], debe hacer que el otro factor desaparezca. Por supuesto, si considera que [math] \ omega [/ math] es el número complejo [math] e ^ {2 \ pi i / 3} [/ math], también puede probarlo directamente.

Esta propiedad de [math] \ omega [/ math] es la razón por la que podemos conformarnos con [math] a + b \ omega [/ math], y no necesitamos mirar cosas como [math] a + b \ omega + c \ omega ^ 2 [/ matemáticas]. De hecho, cada vez que surge un [math] \ omega ^ 2 [/ math], puede reemplazarlo con [math] – \ omega-1 [/ math].

Con eso, puedes comenzar a jugar con los enteros de Eisenstein.

[matemáticas] (2+ \ omega) + (3-4 \ omega) = 5-3 \ omega [/ matemáticas]

[matemáticas] (5+ \ omega) (2-3 \ omega) = 10 + 2 \ omega-15 \ omega-3 \ omega ^ 2 = 10-13 \ omega + 3 (\ omega + 1) = 13-10 \ omega [/ matemáticas]

Una vez que te acostumbras a ellos, los enteros de Eisenstein no son más misteriosos que los enteros comunes, pero son mucho más atractivos. Los enteros son simplemente aburridos, puntos igualmente espaciados en la recta numérica, pero los Eisensteins son una red muy bonita, ¿no? Aquí, por ejemplo, están los primos de Eisenstein, que se definirán en breve:

Aritmética en [matemáticas] R [/ matemáticas]

De ahora en adelante, cuando decimos “número”, nos referimos a un entero Eisenstein, que significa un elemento de [matemáticas] R [/ matemáticas]. Dado que esos números se pueden sumar, restar y multiplicar, podemos migrar todas las definiciones estándar de aritmética y tratar de comprender qué sucede con ellas. Aquí están todas las cosas que necesitaremos. Algunos de estos pueden parecer familiares, otros probablemente no.

Si [math] x, y [/ math] son números, diremos que [math] x [/ math] divide [math] y [/ math] si hay algún número [math] m [/ math] tal que [matemáticas] mx = y [/ matemáticas]. Esta es exactamente la misma definición a la que estás acostumbrado para los enteros comunes. Escribiremos [matemática] x \ mid y [/ matemática] cuando [matemática] x [/ matemática] divide [matemática] y [/ matemática]. Por ejemplo, anteriormente notamos que [matemáticas] (5+ \ omega) \ mid (13-10 \ omega) [/ math], y también [matemáticas] (2-3 \ omega) \ mid (13-10 \ omega) [/ matemáticas].
Decimos que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son módulos congruentes [matemática] m [/ matemática], escrita [matemática] x \ equiv y \ pmod {m} [/ matemática], si [matemática] m [/ matemática] divide la diferencia [matemática] xy [/ matemática]. Esta es, nuevamente, la misma definición exacta que la de los enteros ordinarios, pero ahora los tres participantes ([matemáticas] x, y [/ matemáticas] y [matemáticas] m [/ matemáticas]) pueden ser números “nuevos” : elementos de [math] R [/ math].
Si [math] x \ mid 1 [/ math] decimos que [math] x [/ math] es una unidad . Usualmente no hablamos de “unidades” en aritmética escolar, porque usualmente hacemos aritmética escolar solo con enteros positivos, y luego la única unidad es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] en sí misma. Pero entre los enteros ya tenemos dos unidades: [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas], y es útil llamarlas. En nuestro nuevo sistema de números, en realidad tenemos seis de ellos, por lo que sin duda merecen un nombre. Las unidades también pueden considerarse como los elementos invertibles de [matemáticas] R [/ matemáticas]: son los únicos números que tienen un inverso multiplicativo. Debes seguir adelante y demostrar que [math] 1, -1, \ omega, – \ omega, 1 + \ omega [/ math] y [math] -1- \ omega [/ math] son todas unidades. Son, de hecho, los únicos.
Si [math] x \ mid y [/ math] y [math] y \ mid x [/ math] diremos que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son asociados , y escribiremos [matemáticas] x \ sim y [/ matemáticas]. Esto tampoco suele explicarse en la aritmética escolar, porque entre los números enteros positivos dos números están asociados solo si son iguales, y parece una tontería definir algo que es solo otra forma de decir “igual”. Sin embargo, si piensa en la aritmética entre los enteros, notará que [matemáticas] 7 | (-7) [/ matemáticas] y [matemáticas] (- 7) | 7 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 7 [ / math] y [math] -7 [/ math] son asociados. De hecho, debe probar que los asociados de [matemáticas] x [/ matemáticas] son simplemente los productos [matemáticas] xu [/ matemáticas] de [matemáticas] x [/ matemáticas] por alguna unidad [matemáticas] u [/ matemáticas] , al igual que los asociados de [math] 7 [/ math] son los productos de [math] 7 [/ math] de [math] \ pm 1 [/ math] en los enteros ordinarios.
Decimos que [math] x [/ math] es irreducible si no es una unidad, pero las únicas cosas que lo dividen son las unidades y sus asociados. En otras palabras, una no unidad [matemática] x [/ matemática] es irreducible si [matemática] x = yz [/ matemática] implica que [matemática] y [/ matemática] o [matemática] z [/ matemática] son unidades, por lo que la “factorización” es tan inútil como escribir [matemáticas] 17 = (- 1) (- 17) [/ matemáticas]. Esto debería sonar familiar: es la definición habitual de “primo” para enteros comunes. En la teoría de los anillos, el término correcto es irreducible, porque “primo” se define de una manera ligeramente diferente. En nuestro anillo, los dos términos significan lo mismo, por lo que simplemente llamaremos primos a los elementos irreducibles.
Por cada primo [matemático] p [/ matemático] y cada número [matemático] x [/ matemático], podemos considerar la potencia más alta de [matemático] p [/ matemático] que divide [matemático] x [/ matemático], o “El número de veces” [matemática] p [/ matemática] divide [matemática] x [/ matemática]. Esto se llama [math] p [/ math] – valoración de [math] x [/ math], denotada [math] \ text {val} _p (x) [/ math]. Es una noción muy simple, pero generalmente también se excluye de la aritmética escolar, donde habríamos encontrado que la evaluación [matemática] 2 [/ matemática] de [matemática] 40 [/ matemática] es [matemática] 3 [/ matemática] ya que [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática] divide [matemática] 40 [/ matemática] pero [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática] no. Cuando [math] k = \ text {val} _p (x) [/ math] escribimos [math] p ^ k \ mid \ mid x [/ math] para denotar que [math] p ^ k \ mid x [/ matemática] pero ninguna potencia superior de [matemática] p [/ matemática] logra dividir [matemática] x [/ matemática]. Entonces [matemática] 2 ^ 3 \ mid \ mid 40 [/ math], por ejemplo.
Dos números se llaman relativamente primos si solo las unidades los dividen a ambos. Nuevamente, esta es exactamente la misma definición a la que estás acostumbrado en la aritmética escolar.
Si [math] x = a + b \ omega [/ math], llamamos a [math] \ bar {x} = a + b \ omega ^ 2 = (ab) -b \ omega [/ math] el conjugado de [ matemáticas] x [/ matemáticas]. La razón es que esto es solo el conjugado complejo ordinario de [math] x [/ math], y por lo tanto el producto [math] N (x) = x \ bar {x} [/ math] es siempre un entero positivo, llamado la norma de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Debería resolver esto: demuestre que [matemáticas] N (a + b \ omega) = a ^ 2-ab + b ^ 2 [/ matemáticas]. Demuestre que [matemáticas] N (xy) = N (x) N (y) [/ matemáticas], y concluya que las unidades son precisamente los números de la norma [matemáticas] 1 [/ matemáticas], y que los números con una norma prima debe ser primo (advertencia: lo contrario no es cierto. La norma de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] 4 [/ matemáticas], pero [matemáticas] 2 [/ matemáticas] sigue siendo primo entre los enteros de Eisenstein )
Para cualquiera de los dos números [matemática] x, y [/ matemática] un máximo común divisor (mcd) es un número [matemático] d [/ matemático] que los divide a ambos, y es divisible por cualquier otro número con esa propiedad. Entonces [matemáticas] d \ mid x [/ matemáticas], [matemáticas] d \ mid y [/ matemáticas] y si [matemáticas] e \ mid x [/ matemáticas] y [matemáticas] e \ mediados y [/ matemáticas] entonces [matemáticas] e \ mid d [/ matemáticas]. Observe cómo “mayor” cambió el significado de “mayor” a “ser divisible por todos los demás contendientes”. Las propiedades de tamaño de los enteros ordinarios también se pueden migrar a los enteros de Eisenstein, utilizando la norma (esto es lo que significa “dominio euclidiano”), pero los divisores comunes más grandes se pueden definir sin referencia al tamaño, y eso es una observación útil. Tenga en cuenta que escribí “un mcd” en lugar de “el mcd”: en presencia de unidades y asociados, no deberíamos esperar que el mcd sea único.
Cada número se puede escribir como un producto de números primos , y así se escribe esencialmente de una sola manera . Este es el análogo de la “factorización única” de los enteros ordinarios. El “esencialmente” significa que puede (por supuesto) introducir unidades en la factorización si lo desea, y también puede reorganizar el orden de los números primos, pero eso es todo. Si el mismo número [math] x [/ math] se escribe de dos maneras como producto de unidades y primos, se mostrarán los mismos primos en ambos sentidos, y cada uno aparecerá la misma cantidad de veces. Probar la existencia y la unicidad de la factorización en números primos no es difícil usando la norma que acabamos de definir. Si conoce alguna teoría del anillo, reconocerá que [matemáticas] R [/ matemáticas] es un dominio euclidiano y, por lo tanto, un dominio ideal principal y, por lo tanto, un dominio de factorización único.

Finalmente, como se prometió, le daremos un nombre a [math] 1- \ omega [/ math]: lo llamaremos [math] \ lambda = 1- \ omega [/ math]. Ahora, trate de resolver los siguientes ejercicios (relativamente fáciles):

[matemáticas] N (\ lambda) = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lambda ^ 2 \ sim 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] es primo
Cada número [matemática] x [/ matemática] es congruente con [matemática] -1,0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] \ lambda [/ matemática]. Sugerencia: tome cualquier número [matemática] x = a + b \ omega [/ matemática], divídala por [matemática] \ lambda [/ matemática], y luego simplifique la fracción multiplicando el numerador y el denominador por [matemática] \ bar { \ lambda} [/ matemáticas]. Si el resultado está en [math] R [/ math], el número [math] x [/ math] es divisible por [math] \ lambda [/ math] para empezar. Si no es así, ¿qué sucede si sumas o restas [math] 1 [/ math] de [math] x [/ math]? Este resultado debe verse como un análogo del hecho de que entre los enteros ordinarios, cada número es congruente con [matemática] -1,0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] 3 [/ matemática] . En nuestros nuevos números, [math] \ lambda [/ math] juega un papel muy similar a [math] 3 [/ math].
Entre los enteros ordinarios, cada cubo [matemática] x ^ 3 [/ matemática] es congruente con [matemática] -1, 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] 9 [/ matemática]. Este es un hecho muy útil para comprender los cubos y sus sumas. Muestre el resultado análogo para los enteros de Eisenstein: si [math] \ lambda \ nmid x [/ math] entonces el cubo [math] x ^ 3 [/ math] es congruente con [math] -1 [/ math] o [math] 1 [/ math] módulo [math] \ lambda ^ 4 [/ math].
Como aclaración aparte, demuestre que entre los enteros ordinarios, [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 [/ matemática] es imposible si ninguno de [matemática] a, b, c [/ matemática] es divisible por [ matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Use el hecho que acabamos de mencionar sobre cubos modulo [math] 9 [/ math]. Esto significa que el llamado “primer caso” de FLT es trivial para [math] n = 3 [/ math].
La razón por la que estamos obsesionados con [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] es que vamos a factorizar [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 [/ matemáticas] en [matemáticas] (x + y) (x + \ omega y) (x + \ omega ^ 2 y) [/ math]. Suponiendo que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son relativamente primos, demuestre que el único primo que podría dividir tanto [math] x + y [/ math] como [math] x + \ omega y [/ math] es [math] \ lambda [/ math]. Recuerde, a partir del esquema, que esperamos hacer que los factores sean relativamente primos, por lo que podemos concluir que cada uno de ellos es un cubo; Este es un paso decisivo.

La prueba

Si el mundo hubiera sido justo, habiendo hecho todo este gran trabajo para construir el anillo [matemática] R [/ matemática] y entender su aritmética, la prueba ahora debería haber sido un paseo por el parque. Pero el mundo no es justo, alteza, y la prueba sigue siendo compleja. Pero es útil darse cuenta de que ahora, al menos, no es increíblemente creativo o sorprendente: sigue los pasos que describimos anteriormente de manera bastante rutinaria.

Primero haremos que el problema sea un poco más difícil. En lugar de mostrar que [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3 [/ matemática] no tiene solución en [matemática] R [/ matemática], mostraremos que para cualquier unidad [matemática] u [/ matemática] si quiere elegir, la ecuación [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = uz ^ 3 [/ matemáticas] tampoco tiene solución. ¿Por qué estamos haciendo esto? Bueno, cuando “descendemos” de una solución potencial a una más pequeña, se puede introducir una unidad. Por lo tanto, el argumento se rompería si nos limitáramos al caso [math] u = 1 [/ math], y es más fácil permitirnos esa flexibilidad desde el principio. Afortunadamente, la ecuación mejorada aún no se puede resolver, lo que lo convierte en una prueba clara.

Entonces, supongamos que tenemos tres números (que significan números enteros de Eisenstein) [matemática] x, y, z [/ matemática] tal que [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = uz ^ 3 [/ matemática]. Podemos suponer que [matemática] x, y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son por pares relativamente primos: si algún primo divide dos de ellos, también debe dividir el tercero, y podemos eliminarlo.

Si [math] \ lambda [/ math] no divide ninguno de [math] x, y, z [/ math], observamos que ciertamente no divide la unidad [math] u [/ math], entonces todo en esta ecuación es [math] \ pm 1 [/ math] modulo [math] \ lambda [/ math]. Pero no puede hacer que [math] \ pm 1 \ pm 1 = \ pm 1 [/ math] funcione, así que eso está fuera de discusión. [math] \ lambda [/ math] debe dividir al menos uno de [math] x, y [/ math] o [math] z [/ math], y de hecho es exactamente uno de ellos, ya que son pareados relativamente primos . Podemos suponer que es [matemática] z [/ matemática] que es divisible por [matemática] \ lambda [/ matemática]: si es [matemática] x [/ matemática] o [matemática] y [/ matemática], la prueba es casi lo mismo.

Mirando el módulo de ecuación [math] \ lambda ^ 4 [/ math], recuerda que has demostrado que los cubos que no son divisibles por [math] \ lambda [/ math] son en realidad [math] \ pm 1 [/ matemática] módulo [matemática] \ lambda ^ 4 [/ matemática]. Entonces ahora tenemos

[matemáticas] \ pm 1 \ pm 1 \ equiv uz ^ 3 \ pmod {\ lambda ^ 4} [/ matemáticas]

Como [math] \ lambda [/ math] no divide [math] 2 [/ math], en realidad debemos tener [math] 0 [/ math] a la izquierda aquí, y entonces [math] \ lambda [/ math ] divide [math] z [/ math] suficientes veces para que [math] z ^ 3 [/ math] sea divisible por [math] \ lambda ^ 4 [/ math]. Esto significa que, de hecho, [matemáticas] \ lambda ^ 2 \ mid z [/ matemáticas]. Si [math] \ lambda \ mid \ mid z [/ math] entonces [math] z ^ 3 [/ math] simplemente sería divisible por [math] \ lambda ^ 3 [/ math].

Resumamos lo que sabemos. Tenemos

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = uz ^ 3 [/ matemáticas]

y [math] \ lambda ^ 2 \ mid z [/ math] mientras [math] \ lambda \ nmid xy [/ math].

Ahora, por fin, usamos la característica principal del anillo de Eisenstein para factorizar el lado izquierdo:

[matemáticas] (x + y) (x + \ omega y) (x + \ omega ^ 2 y) = uz ^ 3 [/ matemáticas].

Debe verificar que esta factorización funcione expandiéndola si no la había visto antes. Realmente es solo la observación de que [matemáticas] 1 + t ^ 3 = (1 + t) (1+ \ omega t) (1+ \ omega ^ 2 t) [/ matemáticas], aplicado a [matemáticas] t = x / y [/ matemáticas].

Si un producto de algunas cosas es un cubo, y si las cosas son relativamente primas, cada una de ellas debe ser un cubo. Como hemos observado, los factores en nuestro lado izquierdo pueden no ser relativamente primos, pero el único primo posible que podría dividir un par de ellos es [math] \ lambda [/ math]. Entonces, el plan es contar cuidadosamente cuántos [math] \ lambda [/ math] hay en todas partes, cancelarlos y concluir que lo que queda son todos cubos.

Como [math] \ text {val} _ \ lambda (z) \ geq 2 [/ math], debemos tener [math] \ text {val} _ \ lambda (z ^ 3) \ geq 6 [/ math]. Esto significa que al menos uno de los tres factores de la izquierda también debe ser divisible por al menos [math] \ lambda ^ 2 [/ math], y vamos a suponer que es [math] x + y [/ matemática]. De lo contrario, simplemente reemplace [math] y [/ math] por [math] \ omega y [/ math] o [math] \ omega ^ 2 y [/ math]. Es muy conveniente que [math] \ omega [/ math] sea una unidad.

Ahora, [matemáticas] x + \ omega y = (x + y) – \ lambda y [/ matemáticas]. El primer término, [math] x + y [/ math], tiene [math] \ lambda [/ math] -valoración al menos [math] 2 [/ math], pero el segundo, [math] \ lambda y [ / math], solo es divisible por [math] \ lambda [/ math] una vez. Esto significa que la diferencia también es divisible por [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] solo una vez (esta es la simple observación de que un número divisible por [matemáticas] 17 ^ 2 [/ matemáticas] más un número divisible por [matemáticas] 17 [/ math] pero no [math] 17 ^ 2 [/ math] solo es divisible por [math] 17 [/ math]. Es la propiedad “ultramétrica” de las valoraciones). Lo mismo es cierto para [matemática] x + \ omega ^ 2 y [/ matemática], por lo que cada uno de estos factores contribuye con una sola [matemática] \ lambda [/ matemática], y todo lo demás debe provenir de [matemática] x + y [/ matemáticas]. En resumen,

[matemáticas] \ text {val} _ \ lambda (x + y) = 3 \ text {val} _ \ lambda (z) – 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {val} _ \ lambda (x + \ omega y) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {val} _ \ lambda (x + \ omega ^ 2 y) = 1 [/ matemáticas]

Además de esos poderes de [math] \ lambda [/ math], cada uno de esos factores debe ser un cubo, y puede haber cualquier unidad en todas partes. Llamamos a la primera valoración, la grande, [math] t [/ math], para poder escribir

[matemáticas] A = (x + y) = u_1 z_0 ^ 3 \ lambda ^ t [/ matemáticas]

[matemáticas] B = (x + \ omega y) = u_2 x_1 ^ 3 \ lambda [/ matemáticas]

[matemáticas] C = (x + \ omega ^ 2 y) = u_3 y_1 ^ 3 \ lambda [/ matemáticas]

Los nuevos números [matemática] x_1, y_1, z_0 [/ matemática] son por pares relativamente primos, y ninguno de ellos es divisible por [matemática] \ lambda [/ matemática] ya que hemos separado la cantidad precisa de [matemática] \ lambda [/ math] ‘s en cada término.

Ahora, mira:

[matemáticas] A + B \ omega + C \ omega ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Esto es simplemente porque [matemáticas] 1+ \ omega + \ omega ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Esto ahora se lee

[matemáticas] u_1 z_0 ^ 3 \ lambda ^ t + \ omega u_2 x_1 ^ 3 \ lambda + \ omega ^ 2 u_3 y_1 ^ 3 \ lambda = 0 [/ matemáticas]

y podemos, hurra, cancelar un [math] \ lambda [/ math]:

[matemáticas] u_1 z_0 ^ 3 \ lambda ^ {t-1} + \ omega u_2 x_1 ^ 3 + \ omega ^ 2 u_3 y_1 ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

Milagrosamente, [math] t-1 = 3 \ text {val} _ \ lambda (z) -3 [/ math] es un múltiplo de [math] 3 [/ math]. Llamémoslo [matemáticas] t-1 = 3s [/ matemáticas]. Llamemos a [math] z_1 = z_0 \ lambda ^ s [/ math], y tenemos

[matemáticas] u_1 z_1 ^ 3 + u_2 ‘x_1 ^ 3 + u_3’ y_1 ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

(Acabamos de dar a [math] \ omega u_2 [/ math] y [math] \ omega ^ 2 u_3 [/ math] nuevos nombres; todavía son unidades). Multiplicando por el inverso de [math] u_2 ‘[/ math] podemos reorganizar esto en

[matemáticas] x_1 ^ 3 + v y_1 ^ 3 = w z_1 ^ 3 [/ matemáticas]

donde [math] v [/ math] y [math] w [/ math] siguen siendo unidades. Esto casi se parece a nuestra ecuación original; solo tenemos una unidad extra molesta frente a [math] y_1 ^ 3 [/ math]. No se preocupe, la reducción de esta ecuación módulo [matemáticas] \ lambda ^ 2 [/ matemáticas] rinde

[matemáticas] \ pm 1 \ pm v \ equiv 0 \ pmod {\ lambda ^ 2} [/ matemáticas]

(Recuerde que [math] z_1 [/ math] todavía es divisible por [math] \ lambda [/ math]), lo que implica que [math] v = \ pm 1 [/ math] (las otras unidades potenciales no funcionan fuera). Voltee [math] y_1 [/ math] en [math] -y_1 [/ math] si es necesario y obtenga

[matemáticas] x_1 ^ 3 + y_1 ^ 3 = w z_1 ^ 3 [/ matemáticas]

que es exactamente la ecuación con la que comenzamos, pero con una unidad posiblemente diferente frente a [math] z_1 ^ 3 [/ math] (es por eso que insistimos en probar el teorema más general) y con [math] \ text {val} _ \ lambda (z_1) [/ math] estrictamente más pequeño que [math] \ text {val} _ \ lambda (z) [/ math]. Esto es una contradicción, ya que lo primero que vimos fue que en cualquiera de esas ecuaciones debemos tener al menos [math] \ lambda ^ 2 [/ math] dividiendo la tercera variable. Esto muestra que la ecuación de hecho no tiene soluciones en los enteros de Eisenstein, por lo que ciertamente no puede tener soluciones enteras viejas y simples, lo que demuestra FLT para el exponente [math] 3 [/ math].

QED!

Notas al pie

[1] El último teorema de Fermat

[2] Über Eulers Beweis des großen Fermatschen Satzes für den Exponenten 3.

[3] Sobre la prueba hipotética de Euler

[4] 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat: Paulo Ribenboim: 9780387904320: Amazon.com: Libros