¿Cuál es la solución entera a esta ecuación [matemáticas] (2x + 5y + 1) (2 ^ {| x |} + x ^ 2 + x + y) = 105 [/ matemáticas]?

[matemáticas] (2x + 5y + 1) (2 ^ {| x |) + x ^ 2 + x + y) = 105 [/ matemáticas]

Como el producto es extraño, los términos en LHS tienen que ser impares.

Tomando la primera parte de LHS

[matemáticas] 2x + 5y +1 [/ matemáticas]

[matemática] 2x + 1 [/ matemática] es impar implica que y debería ser par

Tomando el 2do término

[matemáticas] 2 ^ {| x |} + x + x ^ 2 + y [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {| x |} [/ matemáticas] es par

[matemática] x ^ 2 + x = x (x + 1) [/ matemática] el producto de dos enteros consecutivos es par

desde arriba tenemos y como incluso

[matemáticas] 2 ^ {| x |} + x + x ^ 2 + y [/ matemáticas] es par

Entonces el producto se vuelve uniforme sin importar que sea x, y

Como he considerado que 2 ^ {| x |} es incluso hay una excepción para x = 0

Entonces, para x = 0

[matemáticas] (5y + 1) (y + 1) = 105 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5y ^ 2 + 6y – 104 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 4, \ frac {-26} {5} [/ matemáticas]

entonces x = 0, y = 4 es la única solución entera

Como [math] 105 [/ math] es impar , tanto [math] 2x + 5y + 1 [/ math] como [math] 2 ^ {| x |} + x (x + 1) + y [/ math] deben ser extraño La primera condición implica [matemática] y [/ matemática] es par , y la segunda condición implica [matemática] x = 0 [/ matemática]. Así [matemática] (5y + 1) (y + 1) = 105 [/ matemática], dando [matemática] y = 4 [/ matemática] y descuidando [matemática] y = – \ frac {26} {5} [/ matemáticas].

La única solución entera es [matemática] x = 0 [/ matemática], [matemática] y = 4 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]