Encontrar todas las soluciones de una ecuación de este tipo es generalmente un problema bastante difícil, aunque se puede resolver con un poco de teoría. Una observación inmediata que se puede hacer es que la ecuación que usted menciona tiene bastante estructura que limita las posibles soluciones.
Generaliza el 2 a n. Cambie la ecuación como [matemáticas] b ^ 3 – na ^ 3 = -1 [/ matemáticas]. Generalice a [matemáticas] x ^ 3 + n (y ^ 3 – 3xyz) + n ^ 2 z ^ 3 = \ pm 1 [/ matemáticas], donde las soluciones a la ecuación original están dadas por el caso especial con un signo menos, z = 0, x = b, y = -a.
El LHS de la última ecuación es una norma multiplicativa del anillo de números de la forma [matemáticas] x + yn ^ {\ frac {1} {3}} + zn ^ {\ frac {2} {3}} [/ matemáticas] . Los números de esta forma con la norma [matemáticas] \ pm 1 [/ matemáticas] forman un grupo conmutativo, con 1 como la unidad (correspondiente a a = 0, b = -1), y un inverso multiplicativo dado por [matemáticas] ( x ^ 2 – nyz) + (nz ^ 2 – xy) n ^ {\ frac {1} {3}} + (y ^ 2 – xz) n ^ {\ frac {2} {3}} [/ math] .
La estructura de grupo significa que es bastante fácil construir nuevas soluciones de la ecuación generalizada una vez que ya tenga algunas.
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Un procedimiento que puede seguir para construir un número infinito de soluciones racionales (pero no necesariamente enteras) es tomar cualquier elemento en el anillo, tomar su tercer poder y dividirlo por su norma, y multiplicarlo por -1. Esto producirá un número en el anillo con la norma -1.
Se puede producir un número infinito de soluciones enteras para la ecuación original estableciendo b, a en [math] \ pm [/ math] el numerador y el denominador de cualquier valor finito de la expansión de fracción continua de [math] n ^ {\ frac {1} {3}} [/ math], aunque la falta de patrones repetitivos significa que se quedará sin precisión numérica después de un tiempo. Puede ser interesante ver si hay un patrón oculto en la fracción continua de la estructura del grupo.
Editar: obtuvo el coeficiente xyz en la norma incorrecto debido a un error de signo. Debería arreglarse ahora.