¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {p-1} \ left (1-e ^ {\ frac {2k \ pi i} {p}} \ right) ^ {1- p} [/ math] donde [math] p [/ math] es primo?

Answer 1

Como OP, aclararé la fuente exacta y proporcionaré más información sobre el problema. Aunque tengo lo que podría llamarse en la fórmula, no sé cómo calcularlo.

Este problema lo hice yo y está inspirado en un problema de IMC. En el problema de IMC, solo requiere que encontremos el signo de la suma anterior, pero tenía curiosidad sobre su valor exacto y quería una fórmula explícita para [math] p [/ math]. Pregunté el problema hace algún tiempo en MSE, como se puede ver aquí, donde el usuario Jack D’Aurizio dio la respuesta [matemáticas] -p \ cdot \ left [\ text {Res} (f (z), z = 0 ) + \ text {Res} (f (z), z = 1) \ right] \ tag {1} [/ math]

donde [matemática] f (z) [/ matemática] es la siguiente: [matemática] f (z) = \ frac {1} {(1-z) z ^ {p-1}} \ cdot \ frac {1} {1- (1-z) ^ p} \ tag {2} [/ matemáticas]

Sin embargo, no conozco suficiente análisis complejo para calcular el residuo en [math] z = 0 [/ math]. Por lo tanto, hice esta pregunta con la esperanza de que alguien pudiera dar un enfoque elemental usando la Fórmula de Vieta, o podría proporcionar algún método alternativo que proporcionara una fórmula explícita.

En una nota al margen, algunas personas han estado diciendo que la respuesta es [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] para todos [matemáticas] n [/ matemáticas]. Sin embargo, esto es incorrecto y puede confirmarse rápidamente mediante el uso del motor computacional Wolframalpha que proporciona los siguientes valores donde [matemática] p = 2,3,5,7,11,13 [/ matemática]: [matemática] \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, – \ frac {4} {5}, \ frac {29} {7}, \ frac {6040} {11}, – \ frac {174589 } {13} [/ matemáticas]

Esto se agregó como respuesta porque proporcionó más información y una respuesta parcial al problema.