Las principales herramientas de ataque hasta este momento han sido el tamizado y el método circular. El método circular fue lo que descifró la débil conjetura de Goldbach, de eso es de lo que voy a hablar ahora. (Ayuda que esté más familiarizado con el uso del método circular que con las técnicas de tamizado).
Escribí más en detalle sobre esto en mi respuesta a ¿Qué es un breve resumen del método circular utilizado para probar la débil conjetura de Goldbach ?, pero intentaré dar un resumen un poco más corto aquí. Para comenzar, definimos una función [matemática] R (n) [/ matemática] que es la cantidad de formas en que un entero [matemático] n [/ matemático] puede escribirse como una suma de dos (o tres, si usted es trabajando en la débil conjetura de Goldbach) primos. Nos gustaría mostrar que [matemática] R (n) \ geq 1 [/ matemática] para [matemática] n \ geq 4 [/ matemática] (o [matemática] n \ geq 5 [/ matemática], para el débil Goldbach conjetura).
Trabajar con una secuencia entera como esta suele ser muy difícil a menos que exista una estructura combinatoria subyacente que nos permita atacar el problema mediante inducción o algo similar. Esto está notablemente ausente aquí, incluso si sé [matemática] R (n) [/ matemática] para todos [matemática] n [/ matemática] más pequeña que [matemática] n_0 [/ matemática], no hay una manera obvia de usar eso información para determinar [matemáticas] R (n_0) [/ matemáticas]. Entonces, tenemos que tomar un enfoque diferente.
Una idea posible es mirar todas las sumas que suman [math] n [/ math], y luego mirar las relaciones de congruencia para “tamizar” cuidadosamente las que tienen demasiados factores primos, si tienes cuidado con cómo tamizar, es de esperar que todavía termines con algo útil. Desafortunadamente, no sabemos cómo usar métodos de tamizado para dar resultados que sean lo suficientemente buenos como para resolver la conjetura de Goldbach; el resultado más conocido es que cada entero par suficientemente grande (más grande que [matemáticas] e ^ {e ^ {36} } [/ math]) es la suma de dos primos o la suma de un primo y un semi-primo (producto de dos primos).
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {p-1} \ left (1-e ^ {\ frac {2k \ pi i} {p}} \ right) ^ {1- p} [/ math] donde [math] p [/ math] es primo?
- ¿Puedes resolver la ecuación [matemáticas] 2a ^ 3 = b ^ 3 + 1 [/ matemáticas] sobre los enteros?
- Cuando [math] x ^ {2008} [/ math] se divide por [math] (x + 1) ^ 3 [/ math] el resto es?
- ¿Cuál es el resto de 2 ^ 100/1000?
- ¿Cuál es -1% de 256 donde% es un operador de módulo?
Otra idea posible es “suavizar” [matemática] R (n) [/ matemática]; en lugar de tratar con una secuencia entera, preferiríamos trabajar con algunas funciones uniformes que todavía codifican la información de [matemática] R (n )[/matemáticas]. Hay muchas maneras diferentes de hacer esto, pero un enfoque común es definir una función cuyos coeficientes de Fourier están dados por [math] R (n) [/ math].
Esto no funcionará aquí, porque [math] R (n) \ geq 1 [/ math] infinitamente a menudo, mientras que los coeficientes de una expansión de Fourier deberían decaer a [math] 0 [/ math]. Hay una solución simple, que consiste en cortar todos los coeficientes de Fourier por encima de algunos grandes [matemática] N [/ matemática], es decir, definimos
[matemáticas] \ displaystyle f_N (x) = \ sum_ {n = 0} ^ NR (n) e ^ {2 \ pi inx} \ tag * {}. [/ matemáticas]
Para volver a la secuencia original, solo usamos la relación habitual de la transformada de Fourier
[matemáticas] \ displaystyle R (n) = \ int_0 ^ 1 f_N (x) e ^ {- 2 \ pi inx} dx \ tag * {}. [/ matemáticas]
Describí en la respuesta que vinculé cómo puedes reescribir [math] f_N (x) [/ math] como una suma de funciones exponenciales con primos en los exponentes. En particular, hubo una suma interesante que quedó fuera de este análisis:
[matemáticas] \ displaystyle S (n, x) = \ sum _ {\ substack {p \ leq n \\ p \ text {prime}}} e ^ {2 \ pi ixp} \ tag * {}. [/ math]
Esta suma tiene propiedades muy interesantes. Aquí hay un gráfico de [matemáticas] \ left | S (541, x) \ right | [/ math] para ilustrar esto.
Que esta pasando? En su mayor parte, todos los términos en la suma exponencial se cancelan entre sí, pero hay lugares donde hay picos que corresponden a lugares cercanos a números racionales con pequeños denominadores.
Le di un poco de motivación en la respuesta vinculada sobre por qué ese patrón debería mantenerse, pero lo importante a tener en cuenta aquí es que brinda una oportunidad de ataque a la conjetura de Goldbach: la idea es que, en última instancia, estamos tomando una integral sobre [matemáticas ] [0,1] [/ math], deberíamos tratar de dividir esa integral en dos partes. Una pieza que consiste en los llamados arcos mayores es una integral sobre regiones cercanas a números racionales con pequeños denominadores (correspondientes a picos de [matemáticas] S (n, x) [/ matemáticas]); la otra pieza está sobre los arcos menores, que capturan el resto del intervalo.
El objetivo es mostrar que la integral sobre los arcos mayores es relativamente “grande”, la integral sobre los arcos menores es relativamente “pequeña”, y utilizar el hecho de que la integral del arco mayor está sobre números racionales con pequeños denominadores para obtener Una buena y precisa estimación. Cuando se despeje el polvo, con suerte podrá concluir que [math] R (n) \ geq 1 [/ math]. (Esa es la menor información que podría extraer con esta técnica).
Desafortunadamente, el método de círculo tampoco es lo suficientemente bueno como para resolver Goldbach. En la actualidad, simplemente no podemos obtener estimaciones que sean lo suficientemente buenas como para poder mostrar de manera concluyente que los arcos principales son mucho más grandes que los arcos menores. La débil conjetura de Goldbach, sin embargo, se resolvió utilizando este método, aunque requirió que Harold Helfgott hiciera mucho trabajo computacional que involucrara a GRH (la hipótesis de Riemann generalizada) para poder alcanzar los límites lo suficientemente buenos.