Sea [matemática] A [/ matemática] un subconjunto de [matemática] [M + 1,2M] [/ matemática] (para enteros positivos [matemática] M, N [/ matemática] tal que [matemática] M> N [ / matemática]) de cardinalidad [matemática] N. [/ matemática] Entonces es fácil ver que cada elemento de [matemática] A [/ matemática] no puede expresarse como la suma de otros elementos de [matemática] A [/ matemática ] ya que cada elemento de [matemáticas] A [/ matemáticas] es estrictamente menor que [matemáticas] 2M + 1 [/ matemáticas] y cada suma de elementos de [matemáticas] A [/ matemáticas] es estrictamente mayor que [matemáticas] 2M + 1 [/ matemáticas].
Entonces, para cada número natural [matemática] N [/ matemática] existe un conjunto de cardinalidad [matemática] N [/ matemática] tal que ningún miembro del conjunto puede representarse como una suma de otros miembros del conjunto.
Surge una pregunta natural si existe un conjunto infinito de enteros positivos [matemática] A [/ matemática] de modo que ningún elemento en [matemática] A [/ matemática] pueda expresarse como la suma de otros elementos en [matemática] A [/ matemáticas] . (Los elementos en la suma no necesitan ser distintos). La respuesta es que no existe tal conjunto infinito [matemática] A. [/ Matemática] Probaré usando pruebas por contradicción que no existe tal conjunto infinito [matemática] A [/ matemática].
Suponga que [math] A = \ {x_n: n \ in \ mathbb {N} \} [/ math] con [math] x_1 <x_2 <\ cdots [/ math].
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- Cada entero que tiene la forma [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5n + 2 [/ matemáticas] también tiene la forma [matemáticas] 15n + 7 [/ matemáticas]. ¿Podemos generalizar esto para cualquier número entero que tenga la forma [math] pn + \ frac {p-1} {2} [/ math] y [math] qn + \ frac {q-1} {2} [/ math] para primos [matemáticas] p, q [/ matemáticas]?
- ¿Qué significa que todos los enteros positivos hasta 78 se pueden escribir como la suma de 18 cuartos poderes?
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el máximo común divisor de elementos de [matemáticas] A [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Podemos hacer esta suposición dividiendo cada elemento de [matemáticas] A [/ matemáticas] con el máximo común divisor de [matemáticas] A [/ matemáticas].
Deje que [math] d_n [/ math] denote el máximo divisor común de los elementos del conjunto [math] \ {x_1, \ cdots, x_n \} [/ math].
La secuencia [math] d_n [/ math] es una secuencia no creciente de números naturales, por lo tanto, la secuencia [math] d_n [/ math] debe ser eventualmente constante. Por lo tanto, existe un número natural [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] d_n = 1. [/ Matemática]
A partir de una generalización de la identidad de Bezout (Ver identidad de Bézout – Wikipedia) existen enteros [matemática] m_1, \ cdots, m_n [/ math] tales que [math] m_1x_1 + \ cdots + m_nx_n = 1. [/ Math]
Afirmo que cada número natural [matemática] N \ geq L = (\ sum_ {i = 1} ^ {n} (| m_i | +1)) x_1 ^ 3 \ cdots x_n ^ 3 [/ matemática] puede expresarse como suma de [matemáticas] x_1, \ cdots, x_n [/ matemáticas].
Si [math] N \ geq L [/ math] entonces [math] N [/ math] puede expresarse en la forma [math] lx_1 \ cdots x_n + r [/ math] con [math] l \ geq (\ sum_ {i = 1} ^ {n} (| m_i | +1)) x_1 ^ 2 \ cdots x_n ^ 2 [/ math] y [math] 0 \ leq r \ leq x_1 \ cdots x_n -1 [/ math].
Como [math] r = rm_1x_1 + \ cdots + rm_nx_n [/ math] tenemos [math] N = (l – (\ sum_ {i = 1} ^ {n} (| m_i | +1)) x_1 \ cdots x_n) (x_1 \ cdots x_n) + \ sum_ {i = 1} ^ {n} ((| m_i | +1) \ frac {(x_1 ^ 2 \ cdots x_n ^ 2)} {x_i} + rm_i) x_i [/ math ]
que es una suma de elementos de [math] \ {x_1, \ cdots, x_n \}. [/ math] (Dado que [math] l – (\ sum_ {i = 1} ^ {n} (| m_i | +1 )) x_1 \ cdots x_n> 0 [/ math] y [math] (| m_i | +1) \ frac {(x_1 ^ 2 \ cdots x_n ^ 2)} {x_i} + rm_i)> 0 [/ math]) Por lo tanto, cada [matemática] N \ geq L [/ matemática] puede expresarse como una suma de elementos de [matemática] \ {x_1, \ cdots, x_n \}. [/ Matemática] Pero como [matemática] A [/ matemática] es un conjunto infinito, existe un número natural [matemática] x> x_n \ en A [/ matemática] tal que [matemática] x \ geq L [/ matemática], dicho elemento puede escribirse como la suma de otros elementos de [ math] \ {x_1, \ cdots, x_n \} \ subset A [/ math] que contradice la suposición de que no existe tal elemento en [math] A [/ math].
Por lo tanto, no hay un conjunto infinito de enteros positivos que satisfagan la hipótesis de la pregunta.