[math] S ^ n [/ math] es solo un grupo de Lie para [math] n = 0, 1, 3 [/ math]. Incluso los valores positivos de [matemática] n [/ matemática] se descartan por su característica de Euler (la característica de Euler de un grupo compacto de Mentiras conectado de dimensión positiva es cero), y descarta valores positivos impares mayores de [matemática] n [/ matemáticas] es un poco más complicado y requiere una topología más algebraica o una inspección cuidadosa de la clasificación de los grupos de Lie.
Es un buen ejercicio en clases características para mostrar que si [matemática] S ^ n [/ matemática] es un grupo de Mentiras, entonces [matemática] n = 2 ^ k – 1 [/ matemática] es uno menos que una potencia de dos.
[matemática] S ^ 7 [/ matemática] es casi, pero no del todo, un grupo de Lie: tiene una estructura más débil, es decir, una estructura de espacio H, derivada de la multiplicación en los octoniones. Se sabe que [matemáticas] n = 0, 1, 3, 7 [/ matemáticas] son las únicas esferas que admiten dicha estructura (correspondiente a la multiplicación de números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones, si te gusta eso tipo de cosa).
- ¿Existe una estructura matemática donde la multiplicación se define usando la suma además de los enteros?
- ¿Por qué no piensas en tratar de probar algunas de las conjeturas no probadas ya que has estado haciendo teoría de números desde 1978?
- Cada entero que tiene la forma [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5n + 2 [/ matemáticas] también tiene la forma [matemáticas] 15n + 7 [/ matemáticas]. ¿Podemos generalizar esto para cualquier número entero que tenga la forma [math] pn + \ frac {p-1} {2} [/ math] y [math] qn + \ frac {q-1} {2} [/ math] para primos [matemáticas] p, q [/ matemáticas]?
- ¿Qué significa que todos los enteros positivos hasta 78 se pueden escribir como la suma de 18 cuartos poderes?
- ¿Se puede probar que [math] \ frac {(3n)!} {2 ^ n 3 ^ n} [/ math] es siempre un número entero?