¿Existe una estructura matemática donde la multiplicación se define usando la suma además de los enteros?

Answer 1

“La definición de Anillos no proporciona una relación entre la suma y la multiplicación que no sea la propiedad distributiva”. Lo dices como si fuera un pequeño detalle, pero no lo es. Le da a la noción de anillo una estructura coherente, sin la cual solo tienes dos operaciones aleatorias que no tienen nada que ver entre sí.

Para responder rápidamente la pregunta como se indica: en la mayoría de los anillos, la multiplicación por algunos elementos puede entenderse como una suma repetida, pero generalmente muy pocos elementos lo permiten. No existe una definición general de estructuras algebraicas con multiplicación que se suma repetidamente, ya que no parecen ser interesantes en absoluto.

No es una buena idea en general pensar en la multiplicación como “suma repetida”. La multiplicación surge naturalmente de muchas maneras diferentes, con mayor frecuencia como composición de transformaciones o funciones, y la propiedad distributiva garantiza que se comporta linealmente.

Se requiere (generalmente) que los anillos tengan un elemento de identidad multiplicativo, llamado [math] 1 [/ math]. Por lo tanto, también tiene los elementos [matemática] 1 + 1 [/ matemática], [matemática] 1 + 1 + 1 [/ matemática] y así sucesivamente, y sus inversos (aditivos) [matemática] -1, – (1+ 1), – (1 + 1 + 1) [/ matemáticas] etc. La multiplicación por esos elementos se puede derivar mediante la suma repetida:

[matemáticas] x \ cdot 1 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ cdot (1 + 1) = x + x [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ cdot (1 + 1 + 1) = x + x + x [/ matemáticas]

[matemática] x \ cdot (-1) = -x [/ matemática] (el inverso aditivo de [matemática] x [/ matemática])

[matemáticas] x \ cdot (-1-1) = – (x + x) [/ matemáticas]

y así. Esto es genial, excepto que solo te ayuda a entender la multiplicación por aquellos elementos que tienen la forma [matemática] 1 + 1 + \ cdots + 1 [/ matemática]. En algunos anillos, como los enteros, esto es todo lo que necesitas; en la gran mayoría de los anillos, no lo es.

Puede impulsar esto un poco más en algunos casos: si el anillo tiene un elemento [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] y + y = 1 [/ matemática], puede observar que [matemática] x \ cdot y [/ math] debe ser un elemento tal que [math] x \ cdot y + x \ cdot y = x [/ math]. Esto es “trabajar hacia atrás” de la suma repetida. En otras palabras, algunos anillos contienen una copia de algunos o todos los números racionales, y la multiplicación por números racionales puede entenderse (con cierto esfuerzo) mediante la suma repetida.

Pero de nuevo, para la mayoría de los anillos, la gran mayoría de los elementos no son sumas de [math] 1 [/ math] o sumas de cosas que se convierten en [math] 1 [/ math] si las sumas varias veces veces. La mayoría de los números reales no son racionales, la mayoría de los números complejos no son racionales, la mayoría de las matrices no son múltiplos escalares de la identidad, etc. En los números reales, la multiplicación se puede inferir de la suma repetida utilizando la continuidad, pero en la mayoría de los otros anillos, incluso esta no es una opción.

Te animo a que dejes de pensar en la multiplicación como una suma repetida. No es útil, y a menudo es confuso.

Answer 2

Creo que los números ordinales se ajustan perfectamente.

A diferencia de muchas (todas) estructuras mencionadas en otras respuestas, no forman un anillo. En particular, la suma no es conmutativa.

Pero la multiplicación ordinal definitivamente puede verse como una suma repetida, si está de acuerdo en que se puede “repetir” de manera transfinita muchas veces.

Entonces, para un ordinal [math] \ alpha [/ math], [math] \ alpha \ cdot2 [/ math] es [math] \ alpha + \ alpha [/ math] y [math] \ alpha \ cdot3 [/ math] es [matemáticas] \ alpha + \ alpha + \ alpha [/ matemáticas], y así sucesivamente. [math] \ alpha \ cdot \ omega [/ math] es lo que obtienes cuando agregas [math] \ alpha [/ math] una y otra vez, y una y otra y otra vez, y tomas el límite de la secuencia. [math] \ alpha \ cdot (\ omega + 1) [/ math] es lo que obtienes cuando haces lo mismo, y luego repite una adición con [math] \ alpha [/ math] una vez más. Y así.

La exponenciación ordinal es la multiplicación repetida de la misma manera.

Podría argumentar que la multiplicación cardinal también es una suma repetida, pero la multiplicación cardinal es bastante aburrida de todos modos. La exponenciación cardinal es un poco más interesante, aunque decir que se trata de una multiplicación repetida realmente lo estira.

Answer 3

Seguro. Eso se llama un módulo [math] \ mathbb {Z} [/ math].

¿Has oído hablar de un espacio vectorial? Es un conjunto con elementos que se pueden agregar y multiplicar por escalares (elementos de un campo). Un módulo [matemático] R [/ matemático] es lo mismo, excepto que los escalares se toman de un anillo [matemático] R [/ matemático] (que no tiene que ser un campo). Si [math] R [/ math] resulta ser un campo, entonces los módulos [math] R [/ math] son ​​solo los espacios vectoriales sobre [math] R [/ math].

Si [math] R [/ math] resulta ser el anillo de enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math], entonces la estructura resultante se llama [math] \ mathbb {Z} [/ math] -module y es equivalente a un grupo abeliano. De hecho, en cualquier grupo abeliano [matemática] G [/ matemática] puede definir una multiplicación de un número entero por un elemento del grupo precisamente por la suma repetida (más la ley usual de signos, para enteros negativos) y la operación resultante da [ math] G [/ math] la estructura de un módulo [math] \ mathbb {Z} [/ math].

Answer 4

Tome los anillos de matrices [math] \ mathbb {M} _ {2} (\ mathbb {R}) = \ left \ {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} | a, b, c, d \ in \ mathbb {R} \ right \} [/ math]

Realmente hay muchos otros, un anillo es un objeto general.

observe aquí que el elemento de identidad es [matemática] \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] para multiplicación y [math] \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] es suma

Este anillo no es conmutativo.

Tome [matemática] A = \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} B = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] AB = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} BA = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces necesitas algo más.

Los enteros son conmutativos.

Si tomamos el conjunto de todas las funciones continuas de valor real

Esto forma un anillo. Es conmutativo. Y multiplicación de funciones.

Porque dos funciones continuas agregadas juntas son continuas.

Si nuestro anillo es conmutativo, [matemáticas] (a + b) ^ {n} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} a ^ {k} b ^ {nk} [/ matemáticas]

Si es con identidad [matemática] \ binom {n} {k} = 1 + 1 + 1 + \ cdots + 1 [/ matemática]

condiciones