¿Cuántos pares de enteros ordenados satisfacen la ecuación 1 / x + 1 / y = 1/12?

Answer 1

Tenemos que resolver la ecuación de Diofantina en dos variables [matemáticas] xy = 12 (x + y) [/ matemáticas] con la condición adicional [matemáticas] xy \ neq 0 [/ matemáticas], como si [matemáticas] xy = 0 [/ matemática] entonces al menos una de las fracciones [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] y [matemática] \ frac {1} {y} [/ matemática] no está definida.

Agregue [matemática] 144 [/ matemática] a ambos lados de la ecuación de Diophantine [matemática] xy-12 (x + y) = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] xy-12 (x + y) + 144 = 144 [/ matemáticas] o [matemáticas] (x-12) (y-12) = 144 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] x-12 = d [/ matemática] y [matemática] y-12 = \ frac {144} {d} [/ matemática] donde [matemática] d [/ matemática] es un divisor entero de [matemática] 144. [/ Math] Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son [math] (12 + d, 12 + \ frac {144} {d}) [/ math] donde [math] d [/ math] denota un divisor entero de [matemáticas] 144. [/ matemáticas]

Cada divisor [math] d [/ math] de [math] 144 [/ math] corresponde a una solución de la ecuación de Diophantine. [matemática] d = -12 [/ matemática] es el único divisor que corresponde a una solución [matemática] (x, y) [/ matemática] tal que [matemática] xy = 0. [/ matemática] De ahí el número de soluciones enteras para el problema original es igual a uno menos que el número de divisores enteros de [matemáticas] 144 [/ matemáticas]. Número de divisores de [matemáticas] 144 = 2 ^ 4 * 3 ^ 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 2 * 5 * 3 = 30. [/ Matemáticas]

Por lo tanto, hay soluciones enteras [matemáticas] 29 [/ matemáticas] para el problema original.

Answer 2

Este sistema es equivalente a [matemáticas] 12 (x + y) = xy [/ matemáticas]

Deje que [matemática] y = k + x, [/ matemática] [matemática] k \ \ in \ mathbb {Z} \\ \ text {Entonces,} \ x ^ 2 + (k-24) x-12k = 0, \\ \ text {Queremos que el discriminante sea un número entero. Entonces,} \ \\ (k-24) ^ 2 + 48k = l ^ 2, \ l \ in \ mathbb {Z} \\ k ^ 2 + 576 = l ^ 2, \\ (l + k) (lk ) = 576 [/ matemáticas]

Ahora [math] x = \ displaystyle 6- \ frac {lk} {4} = 6 – \ frac {144} {l + k} [/ math].

Entonces [math] x [/ math] será un número entero cuando [math] l + k | 144 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el número de soluciones es precisamente los factores positivos y negativos de [matemáticas] \ 144 [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] 144 = 3 ^ 2 \ veces 2 ^ 4 [/ matemáticas].

Por lo tanto, tiene [matemáticas] (2 + 1) (4 + 1) = 15 [/ matemáticas] soluciones en enteros positivos. Por lo tanto, hay un total de soluciones enteras [matemáticas] \ 30 [/ matemáticas].

Ahora si [matemática] x = y \\ \ text {Entonces,} \ x = y = 24. [/ Matemática]

Por lo tanto, un total de [matemáticas] \ 30-1 = 29 [/ matemáticas] soluciones ordenadas. Deducimos la solución cuando son iguales para dar cuenta de la cuenta doble original.

Answer 3

Intentemos resolverlo usando un buen álgebra de la vieja escuela.

[matemáticas] \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y} = \ dfrac {1} {12} [/ matemáticas]

O, [matemáticas] \ dfrac {(x + y)} {xy} = \ dfrac {1} {12} [/ matemáticas]

O, [matemática] 12x + 12y – xy = 0 [/ matemática]

O, [matemáticas] 12x – xy + 12y – 144 + 144 = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] x (12 – y) – 12 (12 – y) + 144 = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] (x – 12) (12 – y) = (-144) [/ matemáticas]

O, [matemáticas] (x – 12) (y – 12) = 144 [/ matemáticas]… Ecuación1

Ahora, [matemáticas] 144 = (2) ^ 4 \ veces (3) ^ 2 [/ matemáticas]

• Entonces, tiene [matemáticas] (1 + 4) \ veces (1 + 2) [/ matemáticas] = 15 factores.

Factores : 1, 2, 3, 4, 6, ……., 36, 48, 72, 144

• Por lo tanto, puede expresarse como producto de 2 factores en [math] \ dfrac {(1 + 15)} {2} [/ math] = 8 formas.

Por ejemplo , [matemáticas] 144 = 1 \ veces 144 = 2 \ veces 72 = 3 \ veces 48 = 12 \ veces 12 [/ matemáticas]

Entonces, podemos ver que el producto se obtiene multiplicando simétricamente los extremos en el espectro de factores dispuestos en orden ascendente.

• Nota: Excepto (12,12) todos los demás productos darán 4 pares ordenados. (12,12) dará 2 pares ordenados.
• Por ejemplo, (1,144), (144,1), (-1, -144), (-144, -1). Pero (12,12) y (- 12, -12) son solo 2 pares ordenados.

Entonces, habrá 30 soluciones de pares ordenados para (x, y) (Respuesta)