Tome [math] \ displaystyle x = 11 \ alpha + \ beta [/ math]
Aquí [math] \ alpha [/ math] es el cociente entre [math] 11 [/ math] y [math] 121 [/ math] y [math] \ beta [/ math] es el resto entre [math] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 10 [/ matemáticas].
Entonces la función [matemáticas] \ displaystyle (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas] será,
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + 1 = (11 \ alpha + \ beta) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]
- Si [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son enteros positivos tales que [matemática] (a + i, b + j)> 1 [/ matemática] por cada [matemática] i , j \ in \ {0,1, \ ldots, n \} [/ math], ¿cómo se puede demostrar que necesariamente [math] a [/ math] y [math] b [/ math] tienen que ser más grandes? que [matemáticas] n ^ n [/ matemáticas]?
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[matemáticas] \ displaystyle = 121 \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + 22 \ alpha \ beta + 1 [/ matemáticas]
Esta función tiene [math] 4 [/ math] términos y [math] 2 [/ math] de ellos son completamente divisibles por [math] 11 [/ math] ya que tienen los factores de [math] 11 [/ math]. Por lo tanto, los recordatorios se darán por el término que no tiene factores de [matemáticas] 11 [/ matemáticas] que es, [matemáticas] \ displaystyle (\ beta ^ 2 + 1) [/ matemáticas]
Con esto podemos probar los diferentes valores posibles de [math] \ beta [/ math] que he mencionado anteriormente y ver cuál dividido por [math] 11 [/ math] produce qué. Se pueden obtener los siguientes casos,
[matemáticas] \ displaystyle 0 + 1 = 1 \ \ text {[} \ beta = 0 \ text {. 1 se puede omitir de la opción]} \ tag 1 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle 1 + 1 = 2 \ \ text {[} \ beta = 1 \ text {]} \ tag 2 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle 4 + 1 = 5 \ \ text {[} \ beta = 2 \ text {]} \ tag 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle 9 + 1 = 10 \ \ text {[} \ beta = 3 \ text {]} \ tag 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle 16 + 1 = 17 \ \ text {[} \ beta = 4 \ text {]} \ tag 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle 25 + 1 = 26 \ \ text {[} \ beta = 5 \ text {]} \ tag 6 [/ matemáticas]
Ahora vemos en [matemática] 5 [/ matemática] y [matemática] 6 [/ matemática] que cuando estos términos se dividen entre [matemática] 11 [/ matemática] los restos son [matemática] 6 [/ matemática] y [matemática ] 4 [/ matemáticas] respectivamente. No mencionaré todos los demás valores posibles y su cálculo, ya que encontramos que [matemáticas] 1, 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 [/ matemáticas] están saliendo resto. Por lo tanto, es [matemáticas] 8 [/ matemáticas] que nunca será un resto.