Como se trata de un problema de trastorno (como se indica en el título), supondré que solo desea considerar escenarios en los que haya exactamente un objeto de cada tipo asignado a cada sobre. No es que el problema sea mucho más difícil si no hacemos esta suposición, es simplemente que eso no sería un problema de trastorno.
El primer caso requiere que desorganicemos [matemática] 7 [/ matemáticas] en los sobres, así que eso es [matemáticas] 7 [/ matemáticas] y para cada trastorno se nos permite permutar fotos en [matemáticas] 7! [/ Matemáticas] entonces
[matemáticas] \ text {Respuesta 1} = (! 7) \ cdot (7!) = 9 \, 344 \, 160 \ tag * {} [/ matemáticas]
Para la segunda pregunta, el argumento es idéntico pero con documentos y fotos intercambiando roles, así que
- ¿Z + se usa con más frecuencia para enteros positivos o se usa N \ {0} en su lugar?
- ¿Por qué no se enseña teoría de números en la escuela secundaria?
- ¿Qué es generalmente más difícil, conjeturar algo que probablemente sea cierto o probar una conjetura?
- ¿Podemos escribir {nx} = n {x} donde n es un número entero y {.} Es una parte fraccionaria de x?
- ¿Cuál es el resto cuando 2 ^ 2015 se divide por 17?
[matemáticas] \ text {Respuesta 2} = (! 7) \ cdot (7!) = 9 \, 344 \, 160 \ tag * {} [/ matemáticas]
Finalmente, para la tercera pregunta, requiere que las imágenes estén alteradas (¡eso es [matemáticas]! 7 [/ matemáticas]) y para cada una de estas también requerimos que los documentos estén alterados (¡de nuevo en [matemáticas]! 7 [/ matemáticas] formas ) esto da
[matemáticas] \ text {Respuesta 3} = (! 7) ^ 2 = 3 \, 437 \, 316 \ tag * {} [/ matemáticas]
Para esta tercera parte, se permite que una imagen y un documento con la misma etiqueta estén en el mismo sobre, pero ambos deben evitar el sobre con su etiqueta común.
Notas
Los números de trastorno se denotan usando el subfactorial [math]! N [/ math] y se proporcionan por
[matemáticas] \ displaystyle {! n \, = \, n! \ sum_ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ k \ frac {1} {k!}} \ tag * {} [/ matemáticas ]
Aquí hay una tabla de los primeros números de trastorno y números factoriales
[matemáticas] \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c} \ hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y \ cdots \\\ hline! N & 1 y 0 y 1 y 2 y 9 y 44 y 265 y 1854 y 14833 y 133496 y 1334961 y \ cdots \\\ hline n! & 1 y 1 y 2 y 6 y 24 y 120 y 720 y 5040 y 40320 y 362880 y 3628800 y \ cdots \\\ hline \ end {array} \ tag * {} [/ math]