Si pudieras entender instantánea y perfectamente un documento / prueba matemático publicado, ¿cuál elegirías?

La prueba de Fermat y la clasificación de grupos simples finitos parecen posibilidades atractivas debido a la cantidad de matemáticas relacionadas que uno absorbería al mismo tiempo. De repente serías un teórico de números o un teórico de grupo, al menos de alguna manera. Comprender la resolución de singularidades de Hironaka (Resolución de singularidades – Wikipedia) pondría mucha geometría algebraica en tu cabeza.

La comprensión perfecta de una prueba del teorema de 4 colores tendría el divertido efecto secundario de familiarizarlo individualmente con una gran cantidad de gráficos, más de lo que una persona normalmente podría memorizar.

Para variar, elijo el teorema del ventilador de Brouwer (lema de König – Wikipedia), suponiendo que la comprensión perfecta de la prueba conlleva una comprensión del proceso de pensamiento del autor. A diferencia de las otras sugerencias, esta prueba tiene menos de una página (y la he leído, aunque creo que fue una traducción al inglés). Lo entiendo de alguna manera. Pero Brouwer tenía una filosofía muy definida e inusual (conocida como intuicionismo), y no estoy seguro de que nadie entienda completamente cómo esta prueba encaja con ella. Se ha analizado en el contexto de diferentes sistemas de axiomas. (En general, él mismo criticaba la formalización, y es poco probable que haya tenido un sistema de axiomas en mente). Algunas personas lo analizan de una manera que a veces parece un acto audazmente creativo; También se ha descrito bajo una interpretación diferente como no válida. Así que hay múltiples explicaciones de lo que podría haber estado pensando. Podría ser que uno de los que he visto ya sea correcto. Me gustaría simplemente saber lo que realmente estaba pensando.

¿Yo? Okay:

  • No elegiría los papeles de Mochizuki. Primero, no se publican, por lo que no satisfacen los requisitos de la pregunta. En segundo lugar, soy escéptico de que realmente contengan una prueba de la conjetura ABC, y no sé qué sucede si elijo un documento con una prueba incorrecta o incompleta.
  • No elegiría el papel FLT de Wiles. En todo caso, buscaría la prueba completa de 2001 de Weil-Taniyana-Shimura de Breuil, Conrad, Diamond y Taylor. Pero además de eso, este es un dominio donde tengo alguna posibilidad de aprender la prueba sin el uso de milagros hipotéticos, por lo que prefiero elegir algo más lejos de mi zona de confort. (Por cierto, cualquiera que elija el papel de Wiles sabrá por qué cada curva elíptica semiestable es modular, pero no sabrían por completo una prueba de FLT, ya que esto también requiere dominar el papel de Ribet).
  • No elegiría el teorema del árbol de Kruskal porque ya lo entiendo bastante bien. En todo caso, optaría por el teorema de Robertson-Seymour mucho más fuerte, pero esta es nuevamente una prueba que puedo esperar dominar por mí mismo, en mucho menos tiempo que la prueba de Wiles.

De hecho, no elegiría nada sin ser el viejo asqueroso que soy y probar los Términos y Condiciones del acuerdo: ¿qué pasa con las cosas en las que se basa el papel a través de referencias? ¿Puedo entender todo el edificio de la prueba, o solo la parte explícitamente cubierta en el documento?

Verá, si la respuesta es que solo entiendo el documento en sí, casi no tiene sentido que elija algo hecho después de 1950 más o menos. Es extrañamente frustrante conocer la prueba de Wiles, por ejemplo, sin tener los fundamentos de la Teoría de Iwasawa o el análisis de Mahler [math] p [/ math] -adic.

En este caso, probablemente elegiría la tesis de Tate [1], con considerable inquietud. Si tengo suerte, haré un progreso significativo hacia la comprensión de la teoría de números moderna.

En el caso optimista, probablemente debería elegir algo como la prueba de Ngô Bảo Châu del Lema Fundamental, o algo de Kontsevich, Tao, Witten o Drinfeld, pero no lo haré. Sucumbiré a la tentación y elegiré la prueba de Borcherds [2] de Monstrous Moonshine, lanzando mi conocimiento de mil cosas de las que no sé nada, desde la teoría de cuerdas hasta las álgebras de operadores de vértices, y también viendo, con cierto nivel de claridad, el simetrías increíbles del Grupo de Monstruos y la [matemática] j [/ matemática] -invariante.

No se me ocurre nada más maravilloso.

Notas al pie

[1] Tesis de Tate – Wikipedia

[2] monstruoso brillo de luna y monstruosa mentira superalgebras

Sin duda, elegiría entender la prueba de Mochizuki de la conjetura abc. He estado fascinado por el trabajo de Mochizuki durante años, pero como otros, todavía tengo que comprenderlo completamente. Hacer que otra persona entienda completamente la prueba sería excelente para las matemáticas, especialmente si esa persona estuviera dispuesta a dedicar mucho tiempo y esfuerzo para ayudar a otros a comprender. Por supuesto, nadie sabe si Mochizuki tiene razón tampoco, y en este escenario yo sería el primer no calificado (en términos de comprensión) que no sea estudiante en reclamar lo correcto o incorrecto.

Esto también podría tener una influencia positiva sustancial en las perspectivas de mi carrera como matemático. Un estudiante universitario de matemática líder para aceptar una prueba es casi desconocido en el mundo de hoy. Todas esas charlas de conferencias, publicaciones expositivas (y posiblemente de investigación), etc. ciertamente aumentaría mi CV.

Editar: la respuesta de Alon Amit señala que la prueba de la conjetura abc no es una respuesta válida si queremos interpretar “publicado” de la manera habitual. Del mismo modo, la supuesta prueba de resolución de singularidades de Hironaka en características positivas (y, por lo tanto, todas las características dado el caso de la característica 0 es un resultado clásico debido a nada menos que el propio Hironaka) no contaría. También debo tener en cuenta que, si bien creo que la prueba de Mochizuki tiene una posibilidad decente de mostrarse precisa, estoy más interesado en la teoría de la deformación aritmética y la geometría anabeliana en general que la prueba de la conjetura abc en particular. Entender perfectamente IUT (y, por lo tanto, gran parte del trabajo anterior de Mochizuki) sería interesante por este motivo.

Si tuviera que elegir un artículo diferente, habría elegido la prueba de Bhatt de la conjetura de suma y directa y su variante derivada, porque presumiblemente entendería la prueba de ese resultado , así como la teoría de los espacios perfectos necesarios para desarrollar dicha prueba. Solo hay un problema: tampoco creo que se haya publicado correctamente todavía. Con eso, me conformaría con los espacios perfectos de Scholze : Una encuesta , que creo que se ha publicado formalmente, a diferencia de su Ph.D. tesis sobre el tema. Algunos de los trabajos de Jacob Lurie son tentadores para elegir, especialmente porque soy aún menos conocedor de cosas como la geometría espectral algebraica que los espacios perfectos, pero me gustaría elegir uno de sus libros, que puede ser una trampa. Alternativamente, podría haber seleccionado un trabajo aún más alejado de mi zona de confort, como la solución de Ávila al problema de los diez martinis. Por ahora, mi respuesta es el IUT de Mochizuki o, si eso se considera ilegal, los espacios perfectos de Scholze.

Escogería todos los documentos importantes sobre la conjetura de Poincare, comenzando por Poincare con algo llamado dualidad de Poincare, y terminando con el gran Grigory Perelman y sus flujos de Ricci. ¿Por qué, rezar, decir? Aprendí topología puntual y grupos de homotopía en la Universidad, pero fracasé miserablemente en el aprendizaje de grupos de homología simple. Por lo menos, habré dominado la teoría de la homología / cohomología después de aprender milagrosamente todos los entresijos de la conjetura de Poincare hasta el trabajo de Perelman. En el camino, probablemente también haya adquirido una comprensión profunda de la teoría K, que luego podría usar para ayudar a clasificar la materia cuántica topológica con la Alexei Kitaev en Caltech. Por el momento, seguiré soñando. Lo curioso es que la técnica Ricci-flow que Perelman explotó (y que Hamilton inventó) para demostrar la conjetura de Poincare 3D aparentemente tiene muy poco que ver con métodos topológicos más estándar.

Publicaría esto en arXiv, convirtiéndolo en un documento matemático:

Teorema: todos los teoremas de N enumerados a continuación son verdaderos

[Lista de teoremas de N]

Prueba:

[Prueba de todos los teoremas combinados en un documento]

Entonces me gustaría entender este artículo matemático. Por lo tanto, en lugar de comprender una prueba, podré comprender todas las que quiera. Supongamos que un límite superior en el tamaño promedio de una prueba es de 10 MB (más cercano a 1 MB, pero no estoy seguro de cuántas imágenes puede contener una prueba promedio). Con un disco duro de 1TB, puedo cubrir todos los teoremas importantes en matemáticas y aún tengo espacio para enunciar lemas, conjeturas y pruebas de límites inferiores / superiores.

La clasificación de los grupos simples finitos.

No solo porque se dice que consiste en “decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas”, sino porque realmente me gusta el álgebra y especialmente la teoría de grupos. A partir de ahí, tal vez estudiaría el problema de extensión para grupos o cualquier número de problemas abiertos en la teoría de grupos.

Elegiría entender la prueba del notable Teorema Egregium de Gauss, ya que básicamente explica matemáticamente por qué, por ejemplo, la superficie esférica de la tierra no se puede mapear proporcionalmente a una hoja de papel plana. Hay una propiedad intrínseca interesante de las superficies, la curvatura gaussiana, que se aplica aquí, a la que ciertamente tendré que dedicar algo de tiempo y esfuerzo.

Todavía me pregunto, por supuesto, si entendí bien. Se trata de elegir, no de comprender realmente en profundidad, algunos teoremas teóricos publicados y disponibles públicamente.

Elegiría la prueba de FLT de Wiles, porque eso me pondría casi al día en la teoría de números moderna. Eso sería muy útil para mí, porque soy un tipo criptográfico de oficio.

Supongo que comprender perfectamente no me da suficiente información para hacer conexiones con otros temas. Un programa de computadora puede comprender perfectamente una prueba, pero nunca podrá expandirla.

Así que iré con algo que me dará un gran depósito de conocimiento en algo en lo que estoy interesado actualmente

[matemáticas / 0612833] Polinomios, raíces y entrelazado

Lo siento, no puedo pensar en ningún gran trabajo en este momento, ya que no puedo imaginar todas sus implicaciones. Dado mi pequeño campo de visión, no estoy seguro de si elegir un gran trabajo solo sobrecargará mi memoria con trivia.

Probablemente elegiría uno de los documentos fundamentales de Witten sobre teoría de cuerdas, los documentos de Perelman sobre la Conjetura de Poincare, o la prueba de Wiles de FLT. ¡Tocan muchas áreas interesantes y proporcionarían un gran conocimiento básico que podría usarse en muchos campos!

Definitivamente elegiría FLT sin lugar a dudas. La prueba de Wiles toca varios campos de las matemáticas, y si los entiendo perfectamente , esencialmente entiendo una parte significativa de las matemáticas descubiertas (y no descubiertas) ya que todo está interconectado. Si tuviera que elegir una prueba limitada que solo toca números complejos, por ejemplo; Terminaría aprendiendo muy poco porque los números complejos son un campo cerrado algebraicamente.

Añadiría mi voto al total de la prueba de FLT de Andre Wiles, pero en combinación con el teorema de Ribet. Tal comprensión implicaría no solo comprender un conjunto de conceptos importantes y fascinantes en la teoría de números, ¡sino también los muchos conceptos que los sustentan! ¡No hay nada como la alegría del (re) descubrimiento!