¿Cuál es el resto cuando 2 ^ 2015 se divide por 17?

[matemáticas] 2 ^ 0 (mod \ 17) \ equiv 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 1 (mod \ 17) \ equiv 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 (mod \ 17) \ equiv 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 (mod \ 17) \ equiv 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 3 (mod \ 17) \ equiv 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 5 (mod \ 17) \ equiv 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 6 (mod \ 17) \ equiv 13 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 7 (mod \ 17) \ equiv 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 8 (mod \ 17) \ equiv 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 9 (mod \ 17) \ equiv 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 9 (mod \ 17) \ equiv 4 [/ matemáticas]

Entonces el módulo realiza ciclos cada 8 potencias de 2.

[matemáticas] 2015 (mod \ 8) \ equiv 7 [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] 2 ^ {2015} (mod \ 17) \ equiv 9 [/ matemáticas]

Rem [2 ^ 2015/17]

= Rem [8 * 2 ^ 2012/17]

= Rem [8 * 16 ^ 503/17]

= Rem [8 * (- 1) ^ 503/17]

= Rem [8 * (- 1) / 17]

= Rem [(-8) / 17]

= 9

Entonces, podemos decir que el resto cuando 2 ^ 2015 se divide por 17 es 9 .

[matemáticas] {2 ^ 4} \ equiv – 1 \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ left ({{2 ^ 4}} \ right) ^ {503}} \ equiv {\ left ({- 1} \ right) ^ {503}} \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {2 ^ {2012}} \ equiv – 1 \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {2 ^ {2012}} \ times {2 ^ 3} \ equiv \ left ({- 1 \ times {2 ^ 3}} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [ /matemáticas]

[math] \ Rightarrow {2 ^ {2015}} \ equiv – 8 \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {2 ^ {2015}} \ equiv \ left ({- 8 + 17} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {2 ^ {2015}} \ equiv \ left (9 \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]

Por lo tanto, el resto es [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

En esta pregunta tenemos que descubrir el poder de 2, que es un múltiplo cercano de 17.

Aquí, sabemos que [matemáticas] 2 ^ 4 [/ matemáticas] = 17–1
Esto implica que cuando [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática] se divide por 17, dejaría un resto de -1.

Ahora, tenemos que dividir 2015 en términos de múltiplo de 4 = 4 * 503 + 3

El múltiplo de 4 en la potencia de 2 deja el resto -1 y [matemáticas] 2 ^ 3 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la parte sobrante dejará un resto de (-1) * 8 = -8

Por lo tanto, el resto real sería [matemáticas] -8/17 [/ matemáticas] = 17–8 = 9