Estoy respondiendo la versión editada de la pregunta, que entiendo como preguntando si la prueba caprichosa de la irracionalidad de la raíz [matemática] n [/ matemática] de [matemática] 2 [/ matemática] podría tener el problema eso tiene que haber probado lo mismo antes de llegar a Fermat, haciendo que probarlo sea redundante. Sí, esencialmente lo hace.
Siempre es un poco confuso saber qué hechos se usaron implícitamente en una prueba de alto nivel. Si proporcionáramos la misma prueba a dos expertos en verificadores de pruebas formales para completar todos los detalles, las dos pruebas detalladas detalladas resultantes serían casi seguramente diferentes (aunque “esencialmente” lo mismo). En el caso de un resultado como Fermat, los resultados elementales como este aparecen solo en el material de referencia, lo que lo hace aún más confuso en cuanto a lo que cuenta como algo previamente probado. El libro de teoría de números algebraicos que lees podría ser diferente del que leí, y no usar los mismos hechos para establecer los mismos resultados principales.
Es algo análogo a preguntar dónde ha estado alguien en un viaje. Si le pregunto a alguien si han visitado el edificio 7 del MIT (uno de los edificios principales del MIT), parecerá un poco tonto si dicen que no, solo han estado en la acera de la avenida Massachusetts frente al edificio 7. Aquí estamos preguntando si la prueba “va a” un hecho cierto. Diría que es una cuestión de qué tan cerca pasa por el hecho. Sospecho que si tuviera que armar una prueba “completa” reuniendo todo el material de fondo necesario, no tendría el hecho de que la raíz [matemática] n [/ matemática] de 2 es irracional para [matemática] n> 1 [/ math] declarado explícitamente. (Y si me equivoco al respecto, si quisieras, seguramente podrías masajear el material para esquivarlo). Por otro lado, pasa tan cerca que diría que es una objeción decir que no No lo use.
Cuando hagamos la teoría algebraica de números en serio, estaremos muy familiarizados con la factorización única y todas sus consecuencias habituales, que no se enumerarán en una lista ordenada en ninguna parte. No hay una línea clara entre las cosas que aparecen como proposiciones, lemas, teoremas y corolarios en un libro de texto y las cosas que cualquier buen estudiante del material puede hacer fácilmente como ejercicio. Entonces, una posible forma de responder a su pregunta, si consideramos “asumir” ampliamente, sería simplemente decir que cualquiera que esté en posición de leer su prueba tiene que saber esencialmente que la raíz [2 de matemáticas] p [/ matemáticas] es irracional Esto sería como decir, sí, visité el campus del MIT; Noté el edificio 7 al pasar (como hacen muchas personas que van a otro lado). Esa podría ser una respuesta lo suficientemente buena.
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Sin embargo, creo que podemos hacerlo un poco mejor. La prueba de Fermat se basa esencialmente en las propiedades de los números de 2 adic que a su vez dependen del hecho de que 2 no es una potencia. La conexión es un poco más directa que eso, ambos dependen de la teoría de los números elementales. Algunas veces uno tiene que extender los números de 2 adic añadiendo una raíz de 2, y cuando muestra que esa extensión es en realidad una extensión (y no el mismo campo nuevamente), ha demostrado tácitamente que la raíz no es racional. Esto es más como decir, visité el edificio 7 del MIT; Me acerqué y miré dentro del vestíbulo (y tal vez no entré), y luego fui al departamento de matemáticas en uno de los edificios adyacentes. Si luego voy del departamento de matemáticas al interior del edificio 7 a lo largo del largo pasillo, tendría sentido para nosotros decir que acababa de pasar del edificio 7 al edificio de matemáticas y viceversa, incluso si ninguno de mis los pasos cayeron exactamente en el mismo lugar.
Los primos 2 y 3 deben manejarse como un caso especial para algunas cosas, especialmente porque la teoría de las curvas elípticas sobre los enteros mod 2 y mod 3 tienen complicaciones que no surgen mod p para p> 3. Una de las cosas principales es que no puedes completar el cuadrado o completar el cubo mod 2 o mod 3 respectivamente: mod 2, [matemáticas] (x + u) ^ 2 = x ^ 2 + 2xu + u ^ 2 \ equiv x ^ 2 + u ^ 2 [/ math] por lo que no puede usar el término lineal para cancelar cualquier otro término lineal que tenga. Mod 3, el mismo problema ocurre para una ecuación cúbica. Mod p para p> 3 podemos reescribir cualquier curva elíptica como [math] y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b [/ math] transformando las variables [math] x [/ math] y [math] y [/ matemáticas] pero esto desglosa mod 2 o mod 3.
La hipotética curva de Frey [matemáticas] y ^ 2 = x (xa ^ p) (x + b ^ p) [/ matemáticas] (suponiendo que [matemáticas] a ^ p + b ^ p = c ^ p [/ matemáticas]) tiene dos raíces cuya diferencia es divisible por [matemática] 2 ^ p [/ matemática], y algunas de estas complicaciones deben tratarse explícitamente en este caso. Había un estudiante que estudió la prueba lo suficiente como para encontrarse con una dificultad aquí; le pareció que el “conductor”, una de las cantidades fundamentales pertenecientes a una curva elíptica, resultó ser 32 para la curva de Frey, lo que evitaría que la prueba funcionara. Pero, por supuesto, simplemente había caído en una de las trampas allí.
Hay una prueba de “broma” menos divertida de que la suma [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] de dos cuadrados de números reales es [matemática] = 0 [/ matemática] si y solo si [matemática] x = y = 0 [/ matemática]. Factorice [math] x ^ 2 + y ^ 2 [/ math] sobre los números complejos como [math] (x + iy) (x-iy) [/ math] y esto es obviamente 0 solo si uno de los factores es 0 , lo que implica [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas]. Una razón por la que solo significa humorísticamente es que, en el curso del desarrollo de los números complejos, para demostrar que tienen la propiedad de que el producto de dos números complejos distintos de cero no es cero, uno ya debe haber demostrado lo mismo. En este caso, la circularidad es algo más inmediata.
Hay una prueba de broma del lema de Zorn (lema de Zorn – Wikipedia) usando el lema de Zorn que no todos encuentran divertido, pero de alguna manera me divierte. Si P es un conjunto parcialmente ordenado que satisface las condiciones del lema, considere el conjunto Q de cadenas en P, ordenado por inclusión. Un elemento máximo de Q es necesariamente una cadena con un elemento máximo de P como elemento, QED.