¿Cuál es el resto cuando (2 ^ 100 + 3 ^ 100 + 4 ^ 100 5 ^ 100) se divide por 7?

Answer 1

Estas son preguntas de rutina, y cualquiera que conozca los conceptos básicos debería poder resolverlos. Por lo tanto, no veo por qué preguntas como estas se plantean repetidamente.

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Tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ 3 \ equiv 1 \ pmod {7} [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ 3 \ equiv -1 \ pmod {7} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] 5 ^ 3 \ equiv (-2) ^ 3 \ equiv -1 \ pmod {7} [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 ^ 3 \ equiv (-3) ^ 3 \ equiv 1 \ pmod {7 }[/matemáticas].

Para [matemática] a \ in \ {2,3,4,5 \} [/ matemática], [matemática] a ^ {100} = \ big (a ^ 3 \ big) ^ {33} \ cdot a \ equiv \ pm a \ pmod {7} [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] 2 ^ {100} + 3 ^ {100} + 4 ^ {100} + 5 ^ {100} \ equiv 2–3 + 4–5 \ equiv 5 \ pmod {7} [/ matemáticas].

El resto es [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Aquí podemos ver que podemos convertir fácilmente cada una de las expresiones individuales en dos subpartes, de modo que una de las subpartes nos dará el resto de 1. Ok, ahora aclararé lo que estoy tratando de decir.

podemos convertir la expresión dada en una forma más simple

X = ((2 ^ 3) ^ 33 * (2 ^ 1)) + ((3 ^ 6) ^ 16) * (3 ^ 4)) + ((4 ^ 3) ^ 33 * (4 ^ 1)) + ((5 ^ 6) ^ 16 * (5 ^ 4))

ahora nuestra respuesta requerida es X% 7, ahora puedes ver aquí

(2 ^ 3)% 7 = 1

(3 ^ 6)% 7 = 1

(4 ^ 3)% 7 = 1

(5 ^ 6)% 7 = 1

Entonces aquí la respuesta se redujo para encontrar el resto de

X = ((1 ^ 33) * (2 ^ 1) + (1 ^ 16) * 3 ^ 4 + (1 ^ 33) * (4 ^ 1) + (1 ^ 16) * (5 ^ 4))% 7 7

o por el teorema del resto

X = (2 ^ 1 + 81 + 4 ^ 1 + 625)% 7

X = (2 + 4 + 4 + 2)% 7 o

X = (12)% 7 = 5.

Entonces nuestro resto requerido será 5.

Answer 3

Esto no es más que, [{2 * (2 ^ 3) ^ 33} + {(3 ^ 4) * (3 ^ 6) ^ 16} + {4 * (4 ^ 3) ^ 33} + {5 * ( 5 ^ 3) ^ 33}] / 7

Lo que se reduce a, [{2 * (7 + 1) ^ 33} + {(3 ^ 4) * (728 + 1) ^ 16} + {4 * (63 + 1) ^ 33} + {5 * (126 –1) ^ 33}] / 7

ahora podemos ver que todas y cada una de las subexpresiones se reducen a múltiplos de 7, pero algunos números adicionales se quedan atrás … esos realmente darán nuestros ans como se muestra a continuación,

[{2} + {(3 ^ 4)} + {4} + {- 5}] / 7

{2} + {(81)} + {4} + {- 5}] / 7

Por lo tanto, 82/7

Lo que da 5 como el resto.

Answer 4

2 ^ 100 + 3 ^ 100 + 4 ^ 100 + 5 ^ 100/7
= (2 ^ 3) ^ 33 * 2 + (3 ^ 3) ^ 33 * 3 + (4 ^ 3) ^ 33 * 3 + (5 ^ 3) ^ 33 * 3/7
= 2 * 8 ^ 33 + 3 * 27 ^ 33 + 4 * 64 ^ 33 + 5 * 125 ^ 33/7
= 2 * 1 ^ 33 + 3 * -1 ^ 33 + 4 * 1 ^ 33 + 5 * -1 ^ 33/7
= 2 * 1 + 3 * -1 + 4 * 1 + 5 * -1 / 7
= 2 – 3 + 4 -5 / 7
= -2/7
= 7-2
= 5 restos