¿Cuál es el resto cuando [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {1008} (2k-1) ^ {2k-1} [/ math] se divide por [math] 2017 [/ math]?

El problema se puede resolver prácticamente con la ayuda de Mathematica escribiendo el código:

Cociente Restante [Suma [(2 * k – 1) ^ (2 * k – 1), {k, 1, 1008}], 2017]

El código anterior proporciona el cociente y el resto de la división de [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {1008} (2k-1) ^ {2k-1} [/ math] por [math] 2017 [/ matemáticas].

El cociente es igual a:

Y el resto es igual a [math] \ large 1214 [/ math].

El resto también se puede encontrar con Mathematica escribiendo:

Mod [Suma [(2 * k – 1) ^ (2 * k – 1), {k, 1, 1008}], 2017]

A continuación se muestra un diagrama de lista del resto de la división de [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} (2k-1) ^ {2k-1} [/ matemáticas] por [matemáticas] 2017 [/ matemática], para [matemática] n [/ matemática] entre [matemática] 1000 [/ matemática] y [matemática] 1050 [/ matemática]:

El código de Mathematica para la gráfica anterior es:

ListPlot [Table [{n,
Mod [Suma [(2 * k – 1) ^ (2 * k – 1), {k, 1, n}], 2017]}, {n, 1000, 1050}],
PlotStyle -> PointSize [Medium], AxesLabel -> {Style [n, Bold, Red],
Estilo[
“El resto de \! \ (\ * UnderoverscriptBox [\ (\ [Sum] \), \ (k = 1 \), \
\ (n \)] \) (2k-1 \! \ (\ * SuperscriptBox [\ () \), \ (2 k – 1 \)] \) por \
2017 “, negrita, rojo]},
LabelStyle -> Directiva [Negro]]

El resto requerido se puede encontrar con un CAS como Maple escribiendo uno de los siguientes códigos:

irem (suma ((2 * k-1) ^ (2 * k-1), k = 1 .. 1008), 2017)

o:

mod (suma ((2 * k-1) ^ (2 * k-1), k = 1 .. 1008), 2017)

o:

modp (suma ((2 * k-1) ^ (2 * k-1), k = 1 .. 1008), 2017)

Y el resto se puede calcular con la ayuda de Maxima escribiendo el código:

resto (suma ((2 * k-1) ^ (2 * k-1), k, 1,1008), 2017)

Probemos con un código simple de Python

suma = 0
para k en el rango (1,1009): # terminará en 1008 (no 1009)
suma + = ((2 * k-1) ** (2 * k-1))
print (‘summation =’, sum, len (str (sum)) ‘\ n’)
print (‘Remainder =’, sum% 2017) # Para el resto, por ejemplo, .7% 3 = 1

Obtuve el resultado como

sumatoria =

6659 dígitos

eso es masivo!

Resto = 1214

Gracias por A2A. Sí, la respuesta es 1214.

Como otros ya han resuelto esto usando Mathematica y Python, probé un programa usando Java:

resto de clase pública {

public static void main (String [] args) {

largo res = 0;

para (largo i = 1; i <= 1008; i ++) {

res + = powerMod (2 * i – 1, 2 * i – 1, 2017);

}

System.out.println (res% 2017);

}

public static long powerMod (long a, long b, long c) {

resultado largo = 1;

temperatura larga = 1;

máscara larga = 1;

para (int i = 0; i <64; i ++) {

máscara = (i == 0)? 1: (máscara * 2);

temp = (i == 0)? (a% c): (temp * temp)% c;

/ * Compruebe si (i + 1) el bit de potencia b está configurado * /

if ((b & mask) == mask) {

resultado = (resultado * temp)% c;

}

}

resultado de retorno;

}

}