Permítanme retroceder un poco respondiendo esto para preparar un poco de historia.
Las funciones aritméticas son funciones de valor complejo definidas en enteros positivos . Ejemplos de estos son la función Euler [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] y la función Mobius [matemáticas] \ mu [/ matemáticas]. La última función juega un papel clave en el álgebra de las funciones aritméticas, y se define por
[matemáticas] \ mu (n) = \ begin {cases} 1 & \ mbox {if n = 1}; \\ (-1) ^ k & \ mbox {si n es un producto de k primos distintos}; \\ 0 & \ mbox {de lo contrario}. \ end {cases} [/ math]
El producto Dirichlet [matemática] \ estrella [/ matemática] de dos funciones aritméticas [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] es la función aritmética [matemática] h [/ matemática] dada por
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[matemáticas] h (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} f (d) \ cdot g \ left (\ frac {n} {d} \ right) \ ldots (1) [/ math]
Teorema. El conjunto de todas las funciones aritméticas que no desaparecen en [math] n = 1 [/ math] forma un grupo abeliano bajo [math] \ star [/ math]. El elemento de identidad en este grupo es la función
[matemáticas] I (n) = \ left \ lfloor \ dfrac {1} {n} \ right \ rfloor = \ begin {cases} 1 & \ mbox {if n = 1}; \\ 0 & \ mbox {if n> 1}. \ end {cases}. [/ math]
La identidad
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} \ mu (d) = I (n) [/ matemáticas]
es la expresión
[matemáticas] 1 \ estrella \ mu = I [/ matemáticas] [matemáticas], [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots (2) [/ matemáticas]
donde [math] 1 (n) = 1 [/ math] para todos [math] n \ in \ mathbb N [/ math].
Fórmula de inversión de Mobius. Si [math] f [/ math] es una función aritmética tal que [math] f (1) \ ne 0 [/ math], y si
[matemáticas] F (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} f (d) [/ matemáticas],
entonces
[matemáticas] f (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} \ mu (d) \ cdot F \ left (\ frac {n} {d} \ right) [/ math].
Visto en términos de producto Dirichlet , esta es simplemente la declaración
[matemática] F = 1 \ estrella f [/ matemática] implica [matemática] f = \ mu \ estrella F [/ matemática].
Esto se deduce inmediatamente de la ecuación [math] (2) [/ math] y, de hecho, también puede revertirse.
Supongamos que ahora consideramos funciones de valor complejo definidas en [math] {\ mathbb R} ^ + [/ math], y supongamos que [math] f (x) = 0 [/ math] en el intervalo [math] (0,1 )[/matemáticas]. La convolución [matemática] \ circ [/ matemática] de dos de esas funciones, definidas por
[matemáticas] (f \ circ g) (x) = \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} f (n) \ cdot g \ left (\ frac {x} {n} \ right) \ ldots (3) [ /matemáticas]
generaliza el producto Dirichlet [math] \ star [/ math] siempre que supongamos que [math] g (x) = 0 [/ math] para [math] x \ notin \ mathbb N [/ math].
Aunque [math] \ circ [/ math] no es conmutativo ni asociativo , la siguiente propiedad útil conecta [math] \ circ [/ math] y [math] \ star [/ math]:
Para cualquier función aritmética [matemática] f [/ matemática], [matemática] g [/ matemática], y cualquier función [matemática] h: {\ mathbb R} ^ + \ rightarrow \ mathbb C [/ matemática], con [matemática ] h (x) = 0 [/ matemática] en [matemática] (0,1) [/ matemática], [matemática] h (1) \ ne 0 [/ matemática],
[matemáticas] f \ circ (g \ circ h) = (f \ estrella g) \ circ h \ ldots (4) [/ matemáticas]
Fórmula de inversión generalizada de Mobius. Si [math] f: {\ mathbb R} ^ + \ rightarrow \ mathbb C, [/ math] tal que [math] f (x) = 0 [/ math] para [math] x \ in (0,1) [/ math] y [math] f (1) \ ne 0 [/ math], y si
[matemáticas] F (n) = \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} f \ left (\ frac {x} {n} \ right) [/ math],
entonces
[matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ mu (n) \ cdot F \ left (\ frac {x} {n} \ right) [/ math].
Al igual que con la fórmula de inversión de Mobius , la versión generalizada también se puede revertir.
Aplicando la fórmula de Inversión generalizada de Mobius a
[matemáticas] x + \ sqrt {x} = \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ mu (n) \ cdot f \ left (\ frac {x} {n} \ right) [/ math]
da
[matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ left (\ dfrac {x} {n} + \ sqrt {\ dfrac {x} {n}} \ right) \ ldots (5) [/matemáticas]
Usando las estimaciones
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ dfrac {1} {n} = \ ln x + \ gamma + {\ mathcal O} \ left (\ frac {1} {x} \ right) [/ matemáticas], [matemáticas] \ ldots (6) [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] \ gamma: = \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ cdots + \ frac {1} {n } – \ ln n \ right) [/ math]
es la constante de Euler , y
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ dfrac {1} {n ^ s} = \ dfrac {x ^ {1-s}} {1-s} + \ zeta (s) + {\ mathcal O} \ left (\ frac {1} {x ^ s} \ right) [/ math], [math] \ ldots (7) [/ math]
válido para [matemática] s> 0 [/ matemática], [matemática] s \ ne 1 [/ matemática],
obtenemos de la ecuación [math] (5), [/ math] eqn. [math] (6) [/ math] y eqn. [math] (7) [/ math]
[matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ left (\ dfrac {x} {n} + \ sqrt {\ dfrac {x} {n}} \ right) [/ math]
[math] = x \ left (\ ln x + \ gamma + {\ mathcal O} \ left (\ frac {1} {x} \ right) \ right) + \ sqrt {x} \ left (2 \ sqrt { x} + \ zeta \ big (\ frac {1} {2} \ big) + {\ mathcal O} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {x}} \ right) \ right) [/ math]
[matemáticas] = x \ ln x + (\ gamma +2) x + \ zeta \ big (\ frac {1} {2} \ big) \ sqrt {x} + {\ mathcal O} (1) [/ math ]
Esta no es exactamente la respuesta que la pregunta dice ser correcta.
Para obtener una mejor estimación, es posible que tenga que modificar las estimaciones en la ecuación [math] (6) [/ math] y la ecuación [math] (7) [/ math].
La estimación más nítida
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ le x} \ dfrac {1} {n} = \ ln x + \ gamma + \ dfrac {1} {2x} + {\ mathcal O} \ left (\ frac {1 } {x ^ 2} \ right) [/ math]
en lugar de la estimación en la ecuación [math] (6) [/ math] no produce nada mejor a menos que uno también reemplace la estimación en la ecuación [math] (7) [/ math]. El término principal adicional [matemática] 1 / 2x [/ matemática] proporciona el término adicional deseado [matemática] 1/2 [/ matemática] para la estimación final, y la mejor estimación de error también proporciona [matemática] {\ matemática O} (x ^ {- 1}) [/ matemáticas]. Sin embargo, el error estimado [math] {\ mathcal O} (1) [/ math] de la segunda suma mata ambos términos. Por lo tanto, necesito una mejor estimación en la ecuación [math] (7) [/ math], un término principal adicional, así como una mejor estimación de error .
Gracias, Joaquín Pérez, por señalar un error en el borrador inicial.
Actualizaré si puedo hacer eso. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]