Estoy respondiendo desde la perspectiva de la teoría de categorías y el álgebra abstracta, pero al final agregaré algunos temas que técnicamente provienen de la teoría de los espacios de Hilbert (que son espacios vectoriales con alguna estructura adicional):
- Combinaciones lineales. Una combinación lineal de elementos en un conjunto S con coeficientes en un conjunto C se ve así: [matemática] \ Sigma_ {s \ en S} c_ {s} s [/ matemática], donde las c son coeficientes en C indexados por el elementos en S. La idea es que cada elemento en S se “multiplica” por un coeficiente en C, y luego se suman todos. Para empezar, solo preocúpese por el caso en que S es finito y C es el conjunto de números reales. Lo bueno es que las combinaciones lineales se pueden sumar cada vez que C tiene una noción de suma, y se pueden escalar por elementos en C siempre que C tenga una noción de multiplicación. Este concepto es extremadamente importante porque sustenta los conceptos de independencia lineal, bases y conjuntos de expansión.
- Espacios vectoriales Un espacio vectorial sobre un campo k es un conjunto V de “vectores”, donde los vectores se pueden sumar de forma conmutativa y asociativa, hay un vector cero que actúa como una identidad aditiva, cada vector tiene un inverso, y los vectores se pueden escalar por elementos en k de una manera que se distribuye a través de la adición de vectores. ¡Esta lista no pretende ser un tratamiento integral, así que busque algunas definiciones en línea o en un libro de texto!
- Transformaciones lineales. Una transformación lineal entre espacios vectoriales conserva la suma y la multiplicación escalar. Las transformaciones lineales son precisamente lo que hacen que el álgebra lineal sea útil, por lo que realmente necesita tener un control sobre la idea de que preservan las combinaciones lineales. ¡Comprender esta propiedad y sus ramificaciones hará que aprender álgebra lineal sea muy fácil, lo prometo!
- Cálculo matricial. Una matriz es una matriz de coeficientes en el campo base (para empezar, probablemente tratará con matrices reales). La idea clave es que las matrices codifican transformaciones lineales cuando se proporciona una base. Estas son formas dependientes de la base para codificar transformaciones lineales. La multiplicación de matrices corresponde precisamente a la composición de transformaciones lineales. Aprenda cómo las dimensiones de una matriz le dicen qué tipos de espacios vectoriales determina una transformación lineal. Además, aprenda sobre la suma y escala de matrices, porque eso corresponde al hecho omnipresente de que la categoría de espacios vectoriales forma una categoría monoidal (técnicamente es una categoría lineal, pero de todos modos puede ignorar esta última oración).
- Producto tensorial de espacios vectoriales y mapas bilineales. Una transformación bilineal puede parecer un poco tonta al principio, pero son muy importantes para entender. Puede multiplicar espacios vectoriales para obtener un espacio vectorial más grande, pero también puede tomar su producto tensorial. Una transformación lineal del producto tensor es precisamente una transformación bilineal del espacio del producto ordinario. Esto es muy importante en la teoría de categorías, ya que el producto tensor convierte la categoría de espacios vectoriales en una categoría monoidal, lo cual es muy muy útil. (Tenga en cuenta que este tema puede no estar cubierto en un primer tratamiento de álgebra lineal, así que no se preocupe si se está preparando para una clase).
- Una transformación lineal de un espacio vectorial unidimensional es precisamente un vector. ¿Recuerdas cuando dije que las transformaciones lineales son las que hacen que el álgebra lineal sea interesante? Sí, resulta que son álgebra lineal. Si quiere ir más allá, puede aprender sobre álgebra exterior y el hecho de que un n-vector es solo una transformación lineal de un espacio vectorial n-dimensional. Puedes hacer cosas realmente geniales; Si bajas por esta madriguera de conejo, aprenderás sobre el significado real del determinante.
- Espacios vectoriales duales. La colección de transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales forma un espacio vectorial. La colección de transformaciones lineales en el campo base forma el espacio de los covectores. Esto es muy útil de entender y lo prepara para aprender geometría diferencial. (Tenga en cuenta que este tema puede no estar cubierto en un primer tratamiento de álgebra lineal, así que no se preocupe si se está preparando para una clase).
De acuerdo, esos son los grandes. Algunos temas importantes de la teoría de los espacios de Hilbert:
- Producto de puntos de vectores y formas bilineales. Esta operación come un par de vectores y escupe un escalar (un número). Usas esto para estudiar la ortogonalidad y los ángulos. No es intrínseco al álgebra lineal pura, pero es muy natural en álgebra lineal sobre los números reales. Una definición ligeramente diferente se utiliza en álgebra lineal compleja. Es extremadamente importante, especialmente si quieres hacer cálculos vectoriales y aprender física más avanzada.
- Normas Primero comenzaría con la conocida norma euclidiana, pero las normas básicas son esenciales si quieres aprender la mecánica cuántica o el análisis funcional. Las normas asignan una longitud a cada vector de una manera agradable.
¡Buena suerte! ¡Espero que esto ayude!
- Cómo encontrar el volumen de un florero sin usar agua o arena
- ¿Qué trucos especiales usan los concursantes para resolver problemas en IMO?
- ¿Qué lenguaje de programación necesita aprender un matemático?
- ¿Es posible doble especialización en matemáticas y filosofía?
- ¿Los matemáticos profesionales en foros matemáticos moderados son conscientes de tantas críticas publicadas en foros no moderados en sus matemáticas?