Cómo encontrar las n soluciones no negativas para x + y + z = 20, con las condiciones x> = 5, y> = 3 y z> = 1

Answer 1

a = x-4, b = y-2, c = z.

a> = 1, b> = 1, c> = 1.

Entonces el problema se vuelve: encontrar el número de formas para a + b + c = 20–4–2 = 14,

donde a, b, c son números naturales.

a + b = 1 (imposible, no puede ser inferior a 2),

a + b = 2 ( 1 caso ),

a + b = 3 ( 2 casos , 3 objetos en una fila con 2 lugares para colocar un divisor entre a y b),

a + b = 4 ( 3 casos , 4 objetos en una fila con 3 lugares para colocar un divisor entre a y b),

………………………

a + b = 12 ( 11 casos , 12 objetos en una fila con 11 lugares para colocar un divisor entre a y b),

a + b = 13 ( 12 casos, 13 objetos en una fila con 12 lugares para colocar un divisor entre a y b),

a + b = 14 (imposible porque hace que c = 0)

Ahora sumamos el número total de casos 1 + 2 +… + 12 = (12 * 13) / 2 = 78.

Answer 2

Otra forma de verlo ..

x + y = 20 – z

Como z> = 1,

x + y <= 19

y como x> = 5, y> = 3,

x + y> = 8

Entonces sabemos que la suma de x + y está entre 8 y 19 inclusive

Si lo resolvemos, podemos comenzar a ver un patrón:

por

x + y = 8 ==> (5,3) es la única solución 1

x + y = 9 ==> (5,4) y (6,3), hay 2 soluciones

x + y = 10 ==> (5,5) (6,4) (7,3), hay 3 soluciones

.

.

x + y = 19 ==> (5,14) (6,13)… (16,3) debería haber 12 soluciones

El número total de soluciones es entonces, por la fórmula para la suma de una secuencia.

[matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots +12 = \ dfrac {12 (13)} {2} = 78 [/ matemáticas] [matemática] \ GRANDE \ color {# 0f0} {\ marca de verificación} [/ matemática]

Answer 3

Una especie de “distribución” que es muy útil en este tipo de preguntas de competencia matemática.

No sé cómo se llama, pero el símbolo se ve así:

[matemáticas] H ^ n_r [/ matemáticas]

y representa la cantidad de formas de colocar las bolas [matemáticas] n [/ matemáticas] en los cuadros [matemáticas] r [/ matemáticas].

Para descubrir la representación exacta de este símbolo en coeficientes binomiales, transformemos toda la situación en lo siguiente:

Organice las bolas y las particiones [matemáticas] (r-1) [/ matemáticas] (o alguna línea vertical recta para indicar que es una caja).

Que podemos ver que solo necesitamos rastrear dónde van las bolas en las posiciones [math] (n + r-1) [/ math] disponibles. El resto serían solo esas particiones.

Entonces [matemáticas] H ^ n_r = C ^ {n + r-1} _n [/ matemáticas]

Ahora podemos transformar la ecuación original en

[matemáticas] x ‘+ y’ + z ‘= 11 [/ matemáticas]

donde todos los términos no son negativos. Solo tenemos que agregar 5 a [math] x ‘[/ math] para obtener [math] x [/ math], y así sucesivamente para obtener las soluciones originales.

Ahora hay 11 bolas y 3 cajas así que

[matemáticas] H ^ {11} _3 = C ^ {11 + 3-1} _ {11} = C ^ {13} _2 = 78 [/ matemáticas]

Answer 4

sea ​​a = x-5; b = y-3 y c = z-1 ahora [matemáticas] a, b, c \ geq 0 [/ matemáticas]

Esto da a + b + c = 13

Ahora en una línea podemos poner 13 puntos para dividir entre a, by c.

Necesitamos 2 divisores para separar los 3 números. Agrega 2 puntos. Hará 13 puntos. De estos 13 tenemos que elegir los 2 divisores. Será en ^ {13} _2 formas. El valor es 78 .

Answer 5

Deje que [matemática] a = x- (5-1) = x-4 [/ matemática], [matemática] b = y- (3-1) = y-2 [/ matemática] y [matemática] c = z- (1-1) = z [/ matemáticas].

Entonces tenemos [matemáticas] a + b + c = 20-6 = 14 [/ matemáticas].

Supongamos que hay 14 bolas (denotadas por “o”):

o_o_o_o_o_o_o_o_o_o_o_o_o_o

Podemos dividir estas 14 bolas en 3 grupos agregando “|” en algunos “_” como:

o_o | o_o_o_o_o_o_o | o_o_o_o_o

De esta partición, tenemos [matemática] a = 2 [/ matemática], [matemática] b = 7 [/ matemática] y [matemática] c = 5 [/ matemática]. Entonces tenemos [matemática] x = 6 [/ matemática], [matemática] y = 9 [/ matemática] y [matemática] z = 5 [/ matemática] como solución.

Tenga en cuenta que hay 13 “_” y en cada partición, solo necesitamos 2 “|” ‘. Entonces tenemos [math] \ text {C} _ {13} ^ 2 = 78 [/ math] soluciones.