¿Cuáles fueron algunas de las mejores obras de Alexander Grothendieck con aplicaciones prácticas en el mundo real?

Esta es una pregunta difícil, porque por lo que sé sobre Grothendieck, su trabajo fue muy “puro”. Era principalmente un geométrico algebraico, y la geometría algebraica es notoria por ser considerablemente abstracta y teórica.

Solo eche un vistazo al propio desglose de Grothendieck de su trabajo en 12 temas. [1] Hay algunos campos aquí que hacen que mi cabeza gire solo al leerlos: Etale cohomología, álgebra homotópica, geometría anabeliana, etc. No hace falta decir que la mayor parte de su trabajo no tiene ninguna conexión perceptible con su vida cotidiana.


Teoría K

Una parte de su trabajo, K-Theory , [2] sirvió como base para un tema en la teoría de cuerdas que también se conoce como K-Theory . [3] No soy ni un experto en geometría algebraica ni un experto en nada relacionado con la teoría de cuerdas, pero aquí está la comprensión de mi laico de una conexión entre los dos. [matemáticas] ^ {\ daga} [/ matemáticas]

Una estructura fundamental en la teoría de cuerdas es la D-brane [4]. La D-brane representa un objeto formado en una región del espacio en la que las cadenas abiertas terminan y satisfacen las condiciones de contorno de Dirichlet, una familia de condiciones de contorno que determina cómo se comportan las soluciones en el límite de sus dominios. [5] Las D-branas también son la fuente del campo Ramond-Ramond, un campo cargado en el espacio-tiempo de diez dimensiones que interactúa con la gravedad en un nivel cuántico.

[4]

La teoría K aborda el proceso de construcción de anillos por haces de vectores en el contexto de ciertos espacios topológicos. Puede suponer que se trata de un montón de charlas de matemática pura en las nubes que no tiene relación con la realidad, pero se equivocaría al hacerlo. Resulta que la topología en la que tienen lugar los campos D-branes y Ramond-Ramond es muy compleja y abstracta. Lo sé, gran sorpresa, ¿verdad? No es como si fueran estructuras de 10 dimensiones ni nada.

Más específicamente, los campos Ramond-Ramond en realidad forman un grupo correspondiente a paquetes de vectores virtuales. [7] Las D-branas asociadas con estos campos se pueden modelar como operadores diferenciales que actúan sobre ellos. El último de los cuales puede clasificarse como un grupo de homología K. [8]

Este entorno matemático aumenta dramáticamente la utilidad y relevancia de la teoría K en el modelado de D-branes y campos Ramond-Ramond. Los ejemplos de conocimientos útiles obtenidos de las matemáticas de la teoría K incluyen la identificación de intensidades de campo Ramond-Ramond y la evaluación de la carga de D-brane. [3]


El trabajo de Grothendieck no es relevante para la ingeniería

Aparte de todas las cosas de la teoría K, no puedo encontrar ningún trabajo de Grothendieck que tenga alguna relevancia con respecto a la practicidad en el mundo real. Según un obituario del NY Times, el trabajo de Grothendieck tuvo aplicaciones directas y significativas para la robótica, la criptografía y la genética. [9]

Estoy 95% seguro de que esto es una tontería exagerada, una conclusión respaldada por la descripción del autor de los estudios de topología algebraica como “la relación entre ecuaciones y espacios geométricos”. Vamos, muchachos.

Soy consciente de que la geometría algebraica ciertamente tiene mucha relevancia para la criptografía, la mayoría de las cuales involucra curvas elípticas. Pero eso no significa que el trabajo de todos los geómetras algebraicos contribuya directamente a la criptografía. Podría estar equivocado, pero no pude encontrar ningún trabajo de Grothendieck que luego se implementó en criptografía.

Del mismo modo, tengo experiencia con problemas de modelado en robótica, como el control de movimiento avanzado, utilizando herramientas de álgebra abstracta como los cuaterniones. [10] Pero nuevamente, el uso frecuente de ciertas herramientas de álgebra no equivale de ninguna manera a la relevancia de herramientas extremadamente abstractas de la teoría de grupos y la topología algebraica.

Le aseguro que la teoría K no es una teoría remotamente relevante en robótica, por lo que la afirmación de que Grothendieck tuvo un impacto sustancial y directo en la robótica es BS.

[matemáticas] ^ {\ dagger} [/ matemáticas]: teóricos y expertos en cuerdas, por favor muéstrame misericordia. 🙂 Vi la oportunidad de presentar en términos no técnicos al estar lejos de ser un experto. Si algo de lo que digo es defectuoso o impreciso, hágamelo saber en los comentarios. Gracias.

[1] Alexander Grothendieck – Wikipedia

[2] Teoría K – Wikipedia

[3] Teoría K (física) – Wikipedia

[4] D-brane – Wikipedia

[5] Condición límite de Dirichlet – Wikipedia

[6] Campo Ramond – Ramond – Wikipedia

[7] http://www.math.uni-hamburg.de/h…

[8] Homología K – Wikipedia

[9] Alexander Grothendieck, Math Enigma, muere a los 86 años

[10] Quaternion – Wikipedia

No estoy muy seguro acerca de las aplicaciones, pero antes de recurrir a la Geometría Algebraica revolucionó el análisis funcional “sobre la marcha”. Conceptos como espacios localmente convexos surgieron de ese trabajo. No soy lo suficientemente experto en PDE para juzgar si eso tiene algún impacto en los espacios de distribución y operadores.