¿Qué trucos especiales usan los concursantes para resolver problemas en IMO?

Answer 1

Trucos, hmm …

Personalmente no he estado (todavía) en la OMI, pero me he preparado para algunas Olimpiadas (la JBMO, etc.), así que veamos.

Teoría de los números

1. Si tiene algún tipo de ecuación en la que tiene que encontrar p y p es un número primo, considere la ecuación mod 2, 3, 5, 7, etc. Por lo general, encontrará que p = 0 (mod q), que significa que p = q.
2. Nuevamente, si tiene que encontrar un número primo, intente hacerlo para obtener p = a × b o algo así.
3. Personalmente, me encanta usar 4 conceptos en problemas más difíciles: el Lema Lifting the Exponent (o LTE, como se puede encontrar en Internet), el orden gaussiano de un cierto número, el teorema de Zsigmondy y el símbolo de Legendre. Hay muy pocos problemas que no se pueden resolver con estos 4.

Geometría

En geometría, típicamente trato de resolver problemas usando métodos de búsqueda de ángulos, luego calculando mucho, y si eso no funciona, entonces uso cosas como números complejos, etc.

Desigualdades

Bueno, hay algunos que uso mucho:

1. La desigualdad AM-GM es la más útil que existe. Es simple y te ayuda a resolver la mayoría de los problemas. El truco es cómo usarlo bien.
2. La desigualdad Cauchy-Buniakovsky-Schwartz.
3. La desigualdad de Jensen (y simplemente encontrar funciones convexas o cóncavas de algunas variables, lo que me permite encontrar el máximo o el mínimo).
4. Las variables de mezcla (método de suavizado).

Normalmente no uso métodos más complejos como uvw o SOS.

Combinatoria

Creo que esto es lo que realmente estás preguntando.

1. El método de doble conteo. Calculo un valor 2 veces usando diferentes métodos. Eso significa que los 2 resultados son iguales.
2. Inducción. Es muy útil en muchos casos, sin embargo, necesita un trabajo delicado para asegurarse de que cubre todos los casos bien.
3. Colorear en múltiples colores. Esto es muy útil como invariante.
4. Lo que me gusta llamar el “Proceso”. Intento algunos casos pequeños y encuentro una fórmula. Luego doy un ejemplo de que es suficiente. La parte difícil suele demostrar que es el valor mínimo (o máximo, según el problema). Si bien puede parecer simple, no siempre es así.

Para asegurarme de que has entendido esto, déjame darte un problema interesante. Tiene un rectángulo m × n dividido en cuadrados 1 × 1 por líneas paralelas a los lados. Coloreamos algunos de los cuadrados 1 × 1 (hay m × n de ellos) con rojo para que cada cuadrado 3 × 3 que consiste en 1 × 1 cuadrados (9 de ellos) tenga al menos 2 cuadrados rojos. ¿Cuál es el número mínimo de cuadrados rojos de 1 × 1?

¿Qué método debemos usar aquí?