Si a, byc son números positivos reales, [matemática] n \ en N [/ matemática], ¿cómo se demuestra (cálculo no permitido): [matemática] (a + bc) ^ n + (b + ca) ^ n + (a + cb) ^ n \ geq a ^ n + b ^ n + c ^ n? [/ math]

Answer 1

Lema: Para cualquier [matemática] a, b \ in \ mathbb {R}, a + b> 0, n \ in \ mathbb {N} [/ math]

[matemáticas] \ frac {a ^ n + b ^ n} {2} \ geq {(\ frac {a + b} {2})} ^ n [/ matemáticas]

Nota: Lo anterior probablemente pueda probarse como mi AM-GM o escribirlo todo, pero soy demasiado vago, así que solo usaré la desigualdad de Jensen.

Tenga en cuenta que cuando [matemáticas] 2 | n [/ matemáticas],

[matemáticas] a ^ n, b ^ n \ geq 0 [/ matemáticas] (por lo que el signo de [matemáticas] a, b [/ matemáticas] no importa)

Entonces, dado que [math] f (x) = x ^ n [/ math] es convexo para [math] x \ geq 0 [/ math]

entonces el lema es cierto por la desigualdad de Jensen.

Ahora consideramos cuando [math] n [/ math] es impar.

dado [matemática] a + b> 0, [/ matemática] como máximo uno de ellos es negativo.

WLOG, [matemáticas] a> b [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] b | b | [/ matemáticas]

Si reescribimos el lema, obtenemos

[matemáticas] a ^ n \ geq {| b |} ^ n + 2 {(\ frac {a- | b |} {2})} ^ n [/ matemáticas]

Que se puede mostrar fácilmente mediante la expansión binomial (avíseme si desea que explique esto).

Ahora que el lema está probado.

Considere eso

[matemáticas] (a + bc) + (b + ca) = 2b> 0 [/ matemáticas]

Entonces, por el lema que tenemos,

[matemáticas] \ frac {{(a + bc)} ^ n + {(b + ca)} ^ n} {2} \ geq b ^ n [/ matemáticas]

Repita esto 3 veces y hemos demostrado la declaración.