Cómo demostrar que cada entero positivo de la forma 8q + 1 tiene la forma 4q + 1 pero no el inverso

La pregunta tiene dos partes, la primera es que un entero positivo [matemáticas] a [/ matemáticas] de la forma [matemáticas] 8q +1, q \ in \ Bbb Z ^ + [/ matemáticas] es de la forma [matemáticas ] 4q + 1 [/ matemáticas].

([math] \ mathbb Z ^ + [/ math] es el conjunto de enteros positivos)

Tenemos [matemáticas] a = 8q + 1 = 4 (2q) + 1 = 4 q ^ | + 1, \ existe q ^ | \ in \ Bbb Z ^ + [/ math]

Así se hace la primera parte. A la segunda

Cuando se hace una declaración sobre “todos” los enteros positivos, si encuentra incluso un solo contraejemplo, entonces ha terminado con demostrar que es falso.

Tome el número entero [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [matemática] 5 = 4 (1) + 1 [/ matemática] pero como [matemática] 5–1 = 4 [/ matemática] no es divisible por 8, no podemos escribir [matemática] 5–1 = 8q [/ math] o [math] 5 = 8q + 1 [/ math] para cualquier [math] q \ in \ mathbb Z ^ + [/ math] por lo tanto, no podemos escribir todos los enteros positivos de la forma [math] 4q +1 [/ matemática] como [matemática] 8q + 1 [/ matemática].

8q + 1 = 4 (2q) +1

Luego reemplace 2q por m

4m + 1 = 8q + 1 por lo tanto demostrado