Cómo mostrar que mcd (a, b) = mcd (a, a + b)

Suponga que [math] u = gcd (a, b) [/ math]. Entonces, por definición de mcd, [matemáticas] u [/ matemáticas] divide [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] u [/ matemáticas] divide [matemáticas] b [/ matemáticas]. En otras palabras, hay enteros [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] tales que [matemática] ux = a [/ matemática] y [matemática] uy = b [/ matemática]. Entonces, [matemáticas] a + b = ux + uy = u (x + y) [/ matemáticas]. Como [matemática] x + y [/ matemática] es un número entero, como es una suma de enteros, por definición de divisibilidad, [matemática] u [/ matemática] divide [matemática] a + b [/ matemática]. Análogamente, al tomar [matemáticas] i = -a [/ matemáticas], [matemáticas] j = a + b [/ matemáticas], y ver lo que sucede con [matemáticas] mcd (i, j + i) [/ matemáticas], verá que [math] mcd (a, a + b) [/ math] divide [math] gcd (a, b) [/ math]. Entonces, como ambos números se dividen entre sí, deben tener la misma magnitud. Sin embargo, por definición, mcd es positivo, por lo que estas cantidades son en realidad las mismas

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