Hay demasiadas conexiones para contarlas todas, pero daré un par de ejemplos muy importantes.
Lo primero que viene a la mente es el de la función automórfica. Una función automórfica es una función meromórfica (es decir, analítica pero con algunos polos) [matemática] f [/ matemática] en el medio plano superior (el conjunto de puntos [matemática] x + iy [/ matemática] con [matemática] y > 0 [/ math]) satisfaciendo la relación de simetría
[matemáticas] \ begin {align *} f \ left (\ frac {az + b} {cz + d} \ right) = f (z) \ end {align *} [/ math]
para todos [math] \ left (\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix} \ right) \ en SL (2, \ mathbb {Z}) [/ math] (el conjunto de 2 por 2 matrices enteras con determinante 1), decayendo rápidamente a una constante como [math] y \ rightarrow \ infty [/ math], y satisfaciendo alguna ecuación diferencial particular.
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Puede parecer extraño que algo como esto esté relacionado con la teoría de números. Estoy perdido por dar un ejemplo simple de tal cosa, pero escribí bastante extensamente sobre las formas modulares muy relacionadas aquí.
En esa misma línea, la fórmula de seguimiento de Selberg ha sido una herramienta increíblemente importante en el estudio de funciones L, formas modulares y funciones automórficas, todas las cuales son decididamente aplicaciones teóricas de números (incluso si eso no es inmediatamente evidente para alguien que las ve. por primera vez), pero tiene todo tipo de buenas conexiones con ecuaciones diferenciales en múltiples hiperbólicos.