Cómo encontrar el ángulo más grande que hace que la forma ABCD tenga un área máxima

Answer 1

Hay dos triángulos aquí. El primer triángulo (ABD) está formado por 4, 2, y luego cualquier longitud entre sus extremos abiertos. Esta área resultará en la más grande cuando el ángulo A sea de 90 grados, sin embargo, esta podría no ser la mejor respuesta porque no da como resultado el área más grande para el otro triángulo (BCD).

Para el área más grande del triángulo (BCD), dé la hipotenusa más grande con un ángulo A = 180 grados. Esto dará como resultado un triángulo rectángulo isósceles con base 6 cm = Área de [matemáticas] 9 cm [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas]. Pero esta podría no ser el área general más grande porque el triángulo (ABD) tiene un área de cero.

El área máxima podría ser uno de estos dos, o posiblemente algo entre ellos, pero no podría estar fuera de este rango.

x radianes es el suplemento del ángulo theta

El área del primer triángulo (ABD) es [matemática] A = 4Sin (x) cm ^ 2 [/ matemática]

El área del segundo triángulo (BCD) es [matemática] A = \ frac {(4Sin (x)) ^ 2+ (2 + 4Cos (x)) ^ 2} {4} [/ matemática]

El área del cuadrilátero es [matemática] A = \ frac {(4Sin (x)) ^ 2+ (2 + 4Cos (x)) ^ 2} {4} + 4Sin (x) [/ matemática]

Para encontrar el máximo, mida la pendiente en el pico donde la pendiente se convierte en 0. La derivada de A es cero en (Pi) / 4 o 45 grados.

En este ángulo, el área del cuadrilátero es [matemática] A = 10.6569 cm ^ 2 [/ matemática]

Editar: recordatorio: utilicé el suplemento del ángulo original como (Pi) / 4, lo que haría que el ángulo original en cuestión = (Pi) 3/4 o 135 grados

Answer 2

“El ángulo más grande” implica que hay más de uno que hace que el área sea más grande. Dudo que. Pero maximicemos el área de todos modos.

El área del triángulo ADB es [math] \ frac1 {2} \ times 4 \ times 2 \ times \ sin (\ theta) [/ math]. El área del triángulo BCD es [matemática] \ frac1 {4} \ veces BD ^ 2 [/ matemática]. Puede encontrar [matemáticas] BD ^ 2 [/ matemáticas] usando la regla del coseno. [matemáticas] BD ^ 2 = 4 ^ 2 + 2 ^ 2 – 2 \ veces 2 \ veces 4 \ veces \ cos (\ theta) = 20 – 16 \ cos (\ theta) [/ matemáticas].

Así que diferencia [matemática] 4 \ sin (\ theta) + 5 – 4 \ cos (\ theta) [/ matemática] y resuelve la ecuación obtenida al establecer la derivada en cero.

Es decir, [matemática] 4 \ cos (\ theta) + 4 \ sin (\ theta) = 0 [/ matemática]. Es decir, [matemáticas] \ tan (\ theta) = -1 [/ matemáticas]. Esto proporciona un ángulo entre [matemáticas] \ pi / 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. Como [matemática] \ tan 45 ^ ∘ = 1 [/ matemática], [matemática] \ theta = 3 \ pi / 4 [/ matemática] o [matemática] 135 ^ ∘ [/ matemática].

Gracias a Darryl Nester por la corrección.

Answer 3

área ADB = 4 * 2 * sinO / 2 = 4 sin ¿por qué? el módulo de vector cruzado de dos vectores es el área del paralelogramo que forman, que es el doble del triángulo

DB ^ 2 = 4 ^ 2 + 2 ^ 2–2 * 4 * 2 * cos este es el teorema de cos

pithagoras en DCB para obtener CB = CD da

CB ^ 2 = DB ^ 2/2 y el área ABD es CB ^ 2/2 = DB ^ 2/4 = 4 + 1–4 * cos

sumando áreas A = 5–4 cos + 4 sin

respecto derivado al ángulo

4 sin + 4 cos

ser máximo es derivada = 0

sin = – cos entonces theta es -45º o 360–45 = 315º

la ecuación produce el otro ángulo, en la imagen theta es 45º