¿Cuáles son algunas propiedades de las cantidades vectoriales?

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Sin ninguna otra información o calificación, las propiedades de las cantidades vectoriales son:

1. Se pueden agregar: [math] \ vec {a} + \ vec {b} [/ math] es una cantidad vectorial.
2. La suma de vectores es conmutativa: [matemáticas] \ vec {a} + \ vec {b} = \ vec {b} + \ vec {a} [/ matemáticas] para todas las cantidades de vectores [matemáticas] \ vec {a}, \ vec {b} [/ matemáticas]
3. La suma de vectores es asociativa: [matemáticas] (\ vec {a} + \ vec {b}) + \ vec {c} = \ vec {a} + (\ vec {b} + \ vec {c}) [/ matemática ]
4. Se pueden multiplicar por un escalar: [math] a \ vec {b} [/ math] es un vector.
5. La multiplicación escalar se distribuye sobre la suma del vector: [matemáticas] a (\ vec {b} + \ vec {c}) = a \ vec {b} + a \ vec {c} [/ matemáticas]

Estas son todas las propiedades de las cantidades de vectores, dada la información de que son cantidades de vectores , e incluso esto supone que [math] \ vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c} [/ math] son ​​todos iguales tipo de cantidades vectoriales, y que los escalares [matemática] a [/ matemática] son ​​parte de un campo , que es un grupo de objetos numéricos que admiten la suma, resta, multiplicación y división con todas las reglas estándar que esperaría .

Cuando se habla de conjuntos o grupos de vectores, puede hablar de cosas como “combinaciones lineales” de un conjunto de vectores, que son formas como [matemáticas] a_1 \ vec {v_1} + a_2 \ vec {v_2} + \ cdots + \ a_n \ vec {v_n} [/ math]. Luego podemos agregar el concepto de “dependencia lineal” e “independencia lineal”. Se dice que un vector [math] \ vec {v} [/ math] es linealmente independiente de un conjunto de vectores [math] \ {\ vec {v_1}, \ ldots, \ vec {v_n} \} [/ math] si no puede expresarse como una combinación lineal del conjunto. Es “linealmente dependiente” si puede. Un conjunto de vectores es “linealmente independiente” si cada vector en él es linealmente independiente del resto de los vectores en el conjunto.

Por lo general, cuando trabaja con cantidades vectoriales, está trabajando dentro de un espacio vectorial , que es un grupo de cantidades vectoriales (todas del mismo tipo, en el sentido descrito anteriormente) con algunas propiedades adicionales:

1. El espacio vectorial contiene un vector [math] \ vec {0} [/ math] que tiene la propiedad [math] \ vec {a} + \ vec {0} = \ vec {0} + \ vec {a} = \ vec {a} [/ math].
2. Para cada vector [math] \ vec {a} [/ math] en el espacio vectorial, hay un vector [math] – \ vec {-a} [/ math] con la propiedad [math] \ vec {a} + \ vec {-a} = \ vec {-a} + \ vec {a} = 0 [/ math]

Esto le permite hablar sobre tales propiedades de espacios vectoriales como vectores base, tramos y subespacios. Un subespacio es un subconjunto de vectores en un espacio vectorial que, por sí mismos, satisfacen todas las reglas de un espacio vectorial. Un lapso de un conjunto de vectores es el conjunto de todos los vectores que son combinaciones lineales de vectores en el conjunto. Un lapso de un conjunto de vectores forma un subespacio. Una base de un espacio vectorial es una colección de vectores (los vectores base) que son (a) linealmente independientes y (b) abarcan el espacio vectorial.

También puede hablar sobre transformaciones lineales , que son funciones de vectores en un espacio vectorial a vectores en otro (posiblemente el mismo) espacio vectorial, pero preservar la linealidad : [matemáticas] L (a \ vec {v} + b \ vec {u }) = aL (\ vec {v}) + bL (\ vec {u}) [/ math]. Hay un rico estudio de operadores lineales, que son transformaciones lineales de un espacio vectorial a sí mismo.

Cuando comienzas a hablar sobre conjuntos particulares de vectores, como los vectores utilizados en la física clásica, entonces puedes comenzar a hablar sobre propiedades más específicas, como la magnitud y la dirección, o tener productos de punto y cruz.

Pero, en general, las cosas que mencioné en los primeros párrafos son lo único que puede decir sobre las cantidades arbitrarias de vectores.