Un amigo no entiende que puedes tener un ángulo de 70 grados dentro de un tetraedro regular. Ella dice que el ángulo debe ser inferior a 60. ¿Cómo explico esto?

Answer 1

Quiero comenzar imaginando un prisma triangular regular en lugar de un tetraedro regular. Dos caras del prisma son triángulos regulares y tres caras son cuadrados. Se parece a esto:

Debido a la construcción, el ángulo diédrico entre dos de los lados amarillos es claramente de 60 grados (lo mismo que los ángulos internos en las tapas de los extremos del triángulo equilátero).

Ahora imagine dibujar en las dos caras amarillas superiores un triángulo equilátero, utilizando el borde superior como un lado común de los dos triángulos. Está claro que las dos esquinas inferiores de esos triángulos equiláteros, más los dos vértices superiores del prisma, forman las esquinas de un tetraedro, y que ese tetraedro tiene dos caras con un ángulo diédrico de 60 grados.

Pero ese tetraedro no es regular: 5 de los bordes son, por construcción, de igual longitud, pero no el sexto. Es mas corto. Para que tenga la misma longitud, el ángulo diédrico entre las dos caras amarillas originales debe aumentarse, a unos 70 grados (Wikipedia dice [matemáticas] \ cos ^ {- 1} (\ frac {1} {3}) \ aproximadamente 70.53 ^ \ circ [/ math]).

Answer 2

Informe a su colega de esta manera: imagine que el tetraedro regular tiene caras de triángulos equiláteros con lados de dos unidades. En dos caras, dibuje una perpendicular desde el vértice hasta el centro de la base del triángulo, asegurándose de que las dos perpendiculares se unan en sus respectivas bases. Del teorema de Pitágoras, la longitud de los perpendiculares es sqrt (3). Un triángulo está formado, por lo tanto, por los dos perpendiculares y un borde inclinado del tetraedro. El triángulo tiene dos lados de sqrt (3) y uno de 2. Ahora usa la fórmula del coseno para calcular uno o más de los ángulos del triángulo:

Cos (A) = (b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2) / (2bc) y el ángulo A sale como 70.5281 grados y los otros dos ángulos son 54.735 grados.

Answer 3

El ángulo de un tetraedro puede estar por debajo de 180 siempre que los 3 ángulos del triángulo sumen 180 grados. Sin embargo, como usted dijo que el tetraedro es REGULAR, significa que todos los ángulos son de 60 grados porque, dado que todos los ángulos deben ser iguales, cualquier ángulo interior es 180/3 = 60

Answer 4

Ella está mirando el ángulo entre los bordes, que es exactamente 60 grados. Estás mirando el ángulo entre un borde y una cara, que es de unos 70 grados.