En realidad, Einstein usó las transformaciones de Lorentz en su artículo sin referirse a 3-d Minkowski
espacio hiperbólico Es muy lento y metódico en su trabajo y vale la pena leerlo.
http://hermes.ffn.ub.es/luisnava…
Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento
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Pero puede simplificar la Relatividad especial a la geometría euclidiana solo usando el teorema de Pitágoras para obtener los mismos resultados.
Primero para llegar a la ecuación de la relatividad especial, el método más fácil es hacer un experimento mental en el que una persona viaja en un tren con un reloj con luz de espejo. Este reloj está descrito por dos espejos uno frente al otro con un haz de luz que rebota entre los espejos para medir el tiempo. Suponga que los espejos están separados por un metro, con un espejo plano sobre el suelo y el otro espejo suspendido sobre él. Desde el punto de vista de la persona en el tren, la luz viaja hacia arriba y hacia abajo. Y mide el tiempo de esta manera.
Pero desde el punto de vista de alguien en el suelo que observa a la persona en el tren, una vez que la luz rebota en el espejo superior, el espejo inferior se mueve con el tren, de modo que la luz parece moverse en ángulo para alcanzar el espejo inferior. . Esto crea tu triángulo rectángulo. El eje x es la distancia recorrida desde que el espejo superior comenzó a emitir la luz hacia donde el espejo inferior avanzó con el tren. La distancia es vt, velocidad por tiempo. Entonces, el lado inferior del triángulo rectángulo es vt. El lado izquierdo del triángulo rectángulo es un metro, la distancia entre los espejos. La hipotenusa es c, la velocidad de la luz multiplicada por el tiempo que lleva alcanzar el espejo inferior una vez que el espejo inferior se movió con el tren.
Luego usa el teorema de Pitágoras. [matemáticas] (ct) ^ 2 = 1 ^ 2 + (vt) ^ 2 [/ matemáticas]. Aquí están mis notas.
Esto proporciona la fórmula de Einstein para la diferencia de tiempo entre fotogramas y álgebra.
Wikipedia da buenas explicaciones para los diagramas de Minkowski.
Diagrama de Minkowski – Wikipedia
A continuación, permítanme explicar cómo se puede ver el espacio-tiempo de Minkowski mediante un simple triángulo rectángulo.
Para evitar que la velocidad de la luz viaje más rápido que c, el tiempo y la distancia son las dos variables que deben ajustarse en el espacio-tiempo para mantener constante la velocidad de la luz.
Piense en la velocidad de la luz como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con el ángulo recto en 0 en un gráfico, los lados del triángulo rectángulo se encuentran en direcciones positivas en x e y. El eje x es la distancia y el eje y es el tiempo. El cuadrante superior derecho es el futuro, el cuadrante inferior izquierdo es el pasado. Si restringe la longitud de la hipotenusa a c, puede organizar varios triángulos rectángulos empujando la hipotenusa hacia arriba en el eje y o aumentando la velocidad a la que viaja el tiempo pero disminuyendo la distancia recorrida. Este es el espacio-tiempo de Minkowski.
Cuanto más se recorre la distancia del eje x, el tiempo del eje y se ralentiza para compensar de modo que la hipotenusa pueda permanecer una medida constante de c, la velocidad de la luz.
En este triángulo, los humanos viajamos distancias no relativistas en la vida normal, por lo que nuestra velocidad de tiempo del eje y está cerca de la vertical y nuestra distancia está cerca de cero, por lo que el tiempo se mueve tan rápido como el tiempo puede moverse en nuestro universo. Pero cuando la distancia recorrida por el espacio-tiempo es igual a la hipotenusa o igual a la velocidad de la luz, el eje y va a cero, por lo que el tiempo se detiene.
Entonces, para un fotón, si fueras un fotón, el tiempo se detendría. Pero eso no significa que no se recorra la distancia. De hecho, la distancia se recorre a la misma longitud que la hipotenusa, o más exactamente, la distancia se recorre a la velocidad de la luz.
Entonces, en este triángulo, la hipotenusa es s o espacio-tiempo, el lado del eje y es ct o tiempo relativo a c, el lado en el eje x se denota x y es la distancia en las ecuaciones de Einstein. Use la ecuación del espacio hiperbólico no euclidiano [matemática] s ^ 2 = ct ^ 2 – x ^ 2 [/ matemática].
Para utilizar esta ecuación geométrica para convertir el espacio-tiempo de un observador en el espacio-tiempo de una persona en un marco de referencia diferente, sustituya t por el tiempo de la persona en un marco de referencia. T mayúscula para el tiempo de la persona en un marco de referencia diferente.
Entonces el espacio-tiempo para los observadores es:
[matemáticas] c ^ 2t ^ 2 = c ^ 2T ^ 2-v ^ 2T ^ 2 [/ matemáticas]
Resolviendo para T:
[matemáticas] T = \ frac {ct} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]
Simplificar:
[matemática] T = \ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}} [/ matemática] [matemática] \ cdot [/ matemática] [matemática] t [/ matemática]