¿Cómo se puede demostrar que los círculos tienen un número infinito de ejes de simetría?

Answer 1

Primero demuestre que un círculo es simétrico con respecto al eje y. Es decir, sea (x *, y *) un punto en el círculo, x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. Entonces, x * ^ 2 + y * ^ 2 = r ^ 2. Entonces, x * ^ 2 + (-y *) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, entonces (x *, – y *) también es un punto en el círculo.

Entonces, tenemos que demostrar que esto es cierto para todos los ejes, no solo para el eje y. Tome otro eje en el ángulo A desde el eje y. Para simplificar, cambiaremos nuestro eje x por la cantidad correspondiente. Nuestras nuevas coordenadas, x ‘e y’ se relacionan con las coordenadas originales y el ángulo A por la relación:

x = x ‘cosA – y’ sinA

y = x ‘sinA + y’ cosA

Sustituyendo estas expresiones por x e y en la ecuación del círculo nos da

(x ‘cosA – y’ sinA) ^ 2 + (x ‘sinA + y’ cosA) ^ 2 = r ^ 2

Usando el hecho de que (sinA) ^ 2 + (cosA) ^ 2 = 1, obtenemos

x ‘^ 2 + y’ ^ 2 = r ^ 2,

cuál es la ecuación original, entonces el círculo es simétrico respecto al eje y ‘. Dado que hay un eje y ‘diferente para cada valor de A, que es un número real de 0 grados a 360 grados, entonces el número de ejes de simetría es igual al número de números reales en el intervalo [0,360), que resulta ser no solo infinito, sino incontable.

Answer 2

Lo más fácil sería tomar la ecuación del círculo de radio [matemática] r [/ matemática] centrada en el origen en el sistema de coordenadas cartesianas y luego aplicar sobre ella la matriz de rotación con un ángulo arbitrario. Observará que la forma de la ecuación no cambia. Esto es,

La ecuación del círculo sería:

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Primero, tenga en cuenta que el eje [matemático] Y [/ matemático] es siempre un eje de simetría, ya que reemplazar [matemático] x [/ matemático] con [matemático] -x [/ matemático] deja la forma de la ecuación sin cambios.

Tome un punto [matemático] P (x_1, y_1) [/ matemático] en este círculo y gírelo en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] sobre el origen. La matriz rotacional correspondiente para la transformación estaría dada por:

[matemáticas] R = \ begin {bmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\\ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {bmatrix} [/ math]

Las ecuaciones en la transformación [matemáticas] P (x_1, y_1) \ a P ‘(x_1 ′, y_1 ′) [/ matemáticas] para la rotación serían entonces:

[matemáticas] x_1 ′ = x_1 \ cos \ theta – y_1 \ sin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] y_1 ′ = x_1 \ sin \ theta + y_1 \ cos \ theta [/ matemáticas]

Podrá verificar que el punto [matemáticas] P ‘[/ matemáticas] también se encuentra en el círculo [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas] y la forma de la ecuación no cambiar después de la transformación. Decimos que la ecuación del círculo es invariante bajo rotaciones arbitrarias sobre el centro.

Por lo tanto, puede rotarlo tanto como desee para que cualquier diámetro del círculo coincida con el eje [matemático] Y [/ matemático] y ese diámetro se convierte inmediatamente en un eje de simetría.

Para responder a su segunda pregunta, la simetría a menudo ayuda a simplificar los cálculos y el modelado matemático. Por ejemplo, si se le solicitara encontrar el centroide de un cilindro circular derecho uniforme, inmediatamente podría saber que el centroide está a medio camino del eje del cilindro desde la base, simplemente por consideraciones de simetría y sin recurrir a integrales complicadas .