Prerrequisitos :
Regla de seno extendido:
[matemáticas] \ dfrac {a} {\ sin A} = \ dfrac {b} {\ sin B} = \ dfrac {c} {\ sin C} = 2R \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Donde [math] R [/ math] es el circunradio de [math] \ Delta ABC. [/ Math]
- ¿Por qué el latus recto de una parábola 4a?
- ¿Puede existir una esfera gigante de agua pura (tan grande como quieras, no un radio infinito) en el espacio?
- ¿Cuáles son algunas propiedades de las cantidades vectoriales?
- ¿Por qué el eje z es perpendicular a los otros ejes? ¿Y está relacionado con los vectores de productos cruzados?
- Si el radio de la Tierra se redujera repentinamente a 1 \ 4 de su tamaño, ¿cuál sería su efecto en la duración de un día?
Este hecho útil implica que,
[matemáticas] a = 2R \ sin A \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Y de manera similar para [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c. [/ Matemáticas]
Una pequeña identidad Trig útil:
[matemáticas] \ cos ^ 2 x- \ cos ^ 2 y = (1- \ sin ^ 2 x) – (1- \ sin ^ 2 y) \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sin ^ 2 y- \ sin ^ 2 x \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (\ sin y + \ sin x) (\ sin y- \ sin x) \ tag * {} [/ matemáticas]
Bien, entonces debemos demostrar que:
[matemáticas] S = \ displaystyle \ sum _ {\ text {cyc}} \ dfrac {\ cos ^ 2 B- \ cos ^ 2 C} {b + c} = 0 \ tag * {} [/ math]
(Si no está familiarizado con la notación de suma, solo significa que la suma pasa por [matemática] a, b, C [/ matemática] y [matemática] A, B, C [/ matemática])
Ahora usando la identidad Trig:
[matemáticas] S = \ displaystyle \ sum _ {\ text {cyc}} \ dfrac {(\ sin C + \ sin B) (\ sin C- \ sin B)} {b + c} \ tag * {} [/ matemáticas ]
De la regla del seno extendido:
[matemáticas] S = \ displaystyle \ sum _ {\ text {cyc}} \ dfrac {(\ sin C + \ sin B) (\ sin C- \ sin B)} {2R \ sin B + 2R \ sin C} \ tag *{}[/matemáticas]
[matemáticas] S = \ displaystyle \ sum _ {\ text {cyc}} \ dfrac {(\ sin C + \ sin B) (\ sin C- \ sin B)} {2R (\ sin B + \ sin C)} \ etiqueta * {} [/ math]
[matemáticas] \ require {cancel} S = \ displaystyle \ sum _ {\ text {cyc}} \ dfrac {\ cancel {(\ sin C + \ sin B)} (\ sin C- \ sin B)} {2R \ cancel {(\ sin B + \ sin C})} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] S = \ dfrac {1} {2R} \ displaystyle \ sum _ {\ text {cyc}} (\ sin C- \ sin B) \ tag * {} [/ math]
Soltando el resumen,
[matemática] S = \ dfrac {1} {2R} (\ sin C- \ sin B + \ sin A- \ sin C + \ sin B- \ sin A) \ etiqueta * {} [/ matemática]
[matemáticas] \ require {cancel} S = \ dfrac {1} {2R} (\ cancel {\ sin C} – \ cancel {\ sin B} + \ cancel {\ sin A} – \ cancel {\ sin C} + \ cancel {\ sin B} – \ cancel {\ sin A}) \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] S = \ dfrac {1} {2R} (0) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ en caja {S = 0} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
