¿Cómo se explica la ‘prueba’ [matemática] \ pi = 4 [/ matemática] con respecto a un cuadrado reducido a un círculo?

Answer 1

La gente ha publicado muchas buenas respuestas que son matemáticas y rigurosas en varios grados, por lo que intentaré contribuir de una manera más conceptual / intuitiva.

tl; dr: El problema básico aquí es que tomar una longitud fija de algo y simplemente poner-infinitos-infinitos-pequeños-pliegues en él hasta que coincida-algo-es una forma terrible de medir el longitud de cualquier cosa.

Para mí, la forma más fácil de ver el problema en la “paradoja” es imaginar que el cuadrado está hecho de cinta métrica y que el círculo es un gran aro de acero. En esta configuración particular, la cinta métrica tiene una longitud de 4 (digamos 4 metros para ser concreto), y el aro tiene un diámetro de 1 (nuevamente, metros, digamos) y así, en el problema, podemos bastante convenientemente colóquelo alrededor del círculo en forma de un cuadrado que toque el círculo en exactamente 4 lugares simplemente doblando la cinta métrica en esa forma.

En el problema, el siguiente paso es “eliminar las esquinas”. Con nuestra cinta métrica, es lo mismo que doblar la cinta hacia adentro en las esquinas, de tal manera que los puntos que antes eran esquinas ahora están tocando el círculo, creando cada vez dos esquinas nuevas en las secciones de la cinta que no pero tocando el círculo

Así que ahora el área dentro de la cinta métrica es más similar al área dentro del círculo que antes, pero no agregamos ni quitamos ninguna cinta (solo la arrugamos), entonces la longitud de la cinta (el perímetro de la forma que hace la cinta) sigue siendo de 4 metros. Como el problema dice correctamente, podemos seguir haciendo esto para siempre, manteniendo el perímetro igual, pero con el área cada vez más cerca del área del círculo. Si “repetimos hasta el infinito”, el perímetro sigue siendo exactamente 4 metros, y el área será exactamente el área del círculo.

Eso está muy bien, pero el hecho de que pueda enrollar una cinta de medición de 4 metros en arrugas cada vez más finas de tal manera que eventualmente mis arrugas sean infinitamente pequeñas, no significa que mi cinta de medición tenga de repente la misma longitud que la circunferencia del aro de acero que estoy midiendo con él, o que el aro de acero de repente tiene una circunferencia de 4 metros. Ambas cosas siguen siendo precisamente lo que eran antes.

Una manera simple de convencerse de esto es darse cuenta de que, con el método de cinta de medición-contracción, podríamos haber comenzado con * cualquier * longitud de cinta de medición que sea más larga que la circunferencia del aro (pi metros) , y aún puede hacer exactamente el mismo proceso de scrunching. Como entonces podemos hacer que cualquier número sea mayor que 4 (técnicamente cualquier número mayor que pi, pero no necesitamos ser tan específicos aquí, ya que el valor de pi es lo que está en cuestión de todos modos) igual a la relación del diámetro al “circunferencia” de nuestra forma aproximada, que nos dice de inmediato que este método de aproximación de la circunferencia del círculo real no es una cosa válida que deberíamos estar haciendo.

Para ser más específicos, si su cinta de medición inicial es mayor que 4, su forma inicial no será un cuadrado conveniente, pero eso es irrelevante: comienza con una longitud de cinta que es más larga que la circunferencia del aro y la enrolla el aro hasta que la cinta se encuentre sola. Como es más largo que la circunferencia, no todo está al ras contra el aro, por lo que para facilitar la descripción, haga que la cinta métrica también forme un círculo, concéntrica con el aro dentro de ella. Tome dos puntos en lados opuestos de este círculo de cinta métrica y jálelos hacia adentro directamente hacia el aro de acero y fíjelos allí. Ha “pellizcado” el círculo de cinta métrica más grande para encontrar el círculo de aro de acero más pequeño, que ha convertido el círculo más grande en una nueva forma con dos partes abultadas simétricas. Encuentre los puntos medios de esos arcos y jálelos directamente al borde del círculo de aro de acero. Ahora la forma de la cinta de medición tiene 4 bits abultados (haciendo que todo se vea un poco como una flor de 4 pétalos). Encuentre los puntos medios de los 4 arcos abultados, etc., repita para siempre. Obtienes el doble de pétalos cada vez, y se hacen cada vez más pequeños indefinidamente hasta que tu cinta métrica encierra exactamente el área del aro. Desde que comenzamos con * cualquier * longitud de cinta métrica más grande que el aro, y hemos demostrado que podemos con mucho gusto arrugarla cada vez más pequeña hasta que se enrolle perfectamente alrededor del aro, esto nos muestra que arrugar la cinta métrica (que es equivalente a “quitar esquinas” del cuadrado) no es una buena forma de medir la longitud de nada, incluidos los círculos.

[Como analogía, si tengo un gran trozo de papel de envoltura matemáticamente plano, y necesito envolver una esfera para alguien para Navidad, solo porque puedo arrugar infinitamente el papel de envoltura para que quede cerca de la esfera, no significa que el papel de envoltura era del mismo tamaño que el área de la superficie de la esfera, solo significa que el área del papel de envoltura era * al menos tan grande * como el área de la superficie de la esfera]

Answer 2

Este es un viejo problema conocido al menos por Leibniz y probablemente por los griegos.

El problema no tiene nada que ver con [math] \ pi [/ math], o con círculos. Puedes ver el mismo problema con una línea recta:

La longitud de la diagonal es [matemática] \ sqrt 2 [/ matemática], pero por la misma lógica, las líneas negra, roja, verde y azul son todas de longitud [matemática] 2 [/ matemática], que es más grande.

Hay varias formas de ver la paradoja. Lo más simple es simplemente notar que la línea roja no es, de hecho, una mejor aproximación a la diagonal que las negras. Tiene solo un punto adicional en la línea, y un número infinito de unos fuera de ella.

Puede repetir la operación indefinidamente, agregando más puntos, pero siempre habrá más puntos fuera de la línea que encendidos, por la misma razón que hay más números reales que enteros. Formulada como un límite, la variable que controla el número de pasos es un número entero, mientras que la longitud de la línea viene dada por un número real. Por lo tanto, el conjunto de pasos es, incluso en el caso límite, más largo que la diagonal.

Podemos preguntarnos, entonces, ¿por qué funciona la aproximación de Arquímedes a [math] \ pi [/ math]? La respuesta es que Arquímedes estaba tratando de aproximar una curva con una línea, y la curva, a diferencia de los pasos, realmente se ve más y más plana a medida que te acercas más y más. Los pasos siempre serán pasos, pero una aproximación cada vez más pequeña a una curva se asemeja a una línea. El caso límite de un polígono es realmente un círculo, mientras que los pasos siempre son solo pasos.

Answer 3

Utilice un enfoque similar de “corte de esquinas” para “mostrar” que la diagonal de un campo [metro] 100 [/ matemáticas] por [matemáticas] 100 [/ matemáticas] es [matemáticas] 200 [/ matemáticas].

Esto se puede explicar de la siguiente manera:

La diferencia es que está utilizando la métrica diferente, “métrica de taxi”, que la métrica euclidiana. La longitud euclidiana de un segmento [matemática] \ Delta {\ bf z} = (\ Delta x, \ Delta y) [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2} [ / math] mientras que la longitud del “taxi” de este segmento es [math] | \ Delta x | + | \ Delta y | [/ math]. “En el límite” esto implica que la circunferencia euclidiana del círculo de diámetro de la unidad es [matemática] 3.14159 \ cdots [/ matemática], mientras que la “circunferencia del taxi” es [matemática] 4 [/ matemática].

Entonces, en cierto modo, en un espacio métrico [/ matemático] diferente [/ matemático] la “circunferencia” es [matemática] 4 [/ matemática].

Para más términos de laicos, lea lo siguiente:

Si quieres más convincente, entonces el problema es que hay una confusión entre el perímetro y la superficie.

Al tallar las esquinas, el diagrama llama la atención de las personas sobre la aparente similitud en la superficie del antiguo cuadrado y olvida que lo que importa es el perímetro .

¿Qué línea es más larga en el diagrama de arriba? ¿Romper la línea roja lo hará más corto de lo que era originalmente?

Ahora debe darse cuenta de que el perímetro es lo que importa y no la superficie.

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¡Conozca el copo de nieve de Koch si desea ver cómo su intuición falla aún más!

Answer 4

Miras la imagen y tienes una idea de cómo se comportan las series infinitas y te quedas atascado. En realidad, no hay problema. Encontremos otra forma de verlo. Joshua Engel nos ha proporcionado un ejemplo más simple pero análogo para trabajar:

Esperamos que la diagonal sea √2 de largo si los lados son de longitud unitaria. Pero, ¿por qué precisamente esperamos eso? Es porque hemos estado condicionados para hacerlo desde que nacimos (¡y probablemente genéticamente, por millones de años!). Solo para aclarar: este condicionamiento tiene que ver con que preferimos una función de distancia que devuelva la menor distancia posible; el condicionamiento es esa sensación de “bueno duh, qué más sería”.

Sin embargo, los matemáticos han podido generalizar distancias, y una vez que lo hacen, notan que hay un conjunto infinito de funciones (llamadas métricas) que pueden usarse para asignar distancias entre puntos. Una de esas funciones es la métrica del taxi.

¡Adivina qué dice esa métrica en particular! La línea diagonal tiene exactamente dos unidades de longitud, la suma de los bordes. La longitud se suma precisamente como la adición por pasos que se sugiere en el tema original. No realmente, esa línea en realidad es de longitud 2. No es √2 larga. Bueno, tiene una longitud √2 en la métrica euclidiana, pero esa es solo una de un conjunto infinito de métricas. ¿Por qué deberíamos asignar mayor credibilidad a ese?

Esto realmente debería ser el final del problema, pero algunas personas no estarán contentas. Entonces, sin tener en cuenta las métricas, ¿por qué los pasos no convergen en una diagonal euclidiana perfecta? Bueno … ¿por qué debería? Muéstrame algunas ecuaciones para esta convergencia entre estas formas particulares en el espacio métrico euclidiano y lo examinaré con interés. “Se siente como debería” no es suficiente en matemáticas.

Solo un dato final: [math] \ pi = 4 [/ math] en la métrica del taxi. 🙂

Answer 5

En el sentido en que un círculo es el límite de esas aproximaciones de línea ortogonal, la longitud no es una función continua de las curvas: la longitud del límite de las curvas aproximadas no necesita ser el límite de las longitudes de las curvas aproximadas.

Puede ver esto aún más claramente si olvida los círculos e imagina aproximaciones de “escalera” a una línea diagonal; por ejemplo, la diagonal de una unidad cuadrada. La línea diagonal tiene una longitud [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática], mientras que cualquier escalera desde el principio hasta el final tiene una longitud [matemática] 2 [/ matemática] (1 por movimiento horizontal + 1 por movimiento vertical), aunque tales escaleras se pueden hacer arbitrariamente cerca de la línea diagonal, en cierto sentido.

O imagine a alguien haciendo saltos [matemáticos] N [/ matemáticos] de altura [matemática] 1 / N [/ matemática] pies. A medida que [math] N [/ math] se agranda, el camino que toman se acerca cada vez más a permanecer en el suelo (que tiene una longitud de arco 0). Sin embargo, en cada una de estas aproximaciones de salto, la longitud de arco recorrida es de 2 pies (ya que las subidas de los saltos acumulan 1 pie, y lo mismo para los descensos de los saltos).

Por lo tanto, no es cierto en general que se pueda calcular la longitud de una curva calculando la longitud de una serie de aproximaciones a esa curva (al menos, no en el sentido de aproximaciones a una curva que se usa aquí). El problema es que el simple hecho de saber que un arco permanece dentro de una pequeña región no pone límite alguno en su longitud; una aproximación podría rebotar tanto como sea necesario para usar arbitrariamente mucha longitud de arco mientras se mantiene arbitrariamente cerca de una curva de interés.

[Para lo que vale, hay una noción no euclidiana de la longitud del arco bajo la cual las aproximaciones de escalera dan la longitud correcta (siempre y cuando las escaleras que uno usa nunca se muevan en una dirección diferente a lo largo de algún eje de coordenadas desde la curva original); esto ocurre cuando se usa la llamada “métrica de Manhattan” en lugar de la “métrica de Pitágoras” (en la métrica de Manhattan, la longitud de un vector se define como la suma de los valores absolutos de sus coordenadas, en lugar de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas). Pero esto todavía no hace que la longitud sea una función continua de las curvas, como lo demostraría el ejemplo de salto anterior.]

Answer 6

¿Cómo se explica la prueba “π = 4” con respecto a un cuadrado reducido a un círculo?

Hay dos componentes críticos para responder esta pregunta:

1. ¿Cómo define la longitud de una curva?
2. ¿Cuándo puedes cambiar el orden de dos límites?

El primero resulta ser bastante difícil e implica un proceso de límite que conduce al segundo.

También puede notar que los siguientes son todos correctos:

• El límite de la secuencia de etapas es realmente el círculo;
• La duración de cada etapa es [matemática] 4 [/ matemática];
• El límite de las longitudes de las etapas es [matemáticas] 4 [/ matemáticas]; y
• La longitud del círculo es [math] \ pi \ neq4 [/ math].

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¿Cómo define la longitud de una curva?

Las cosas pueden ponerse un poco confusas para una curva general, pero para una curva suficientemente suave que se puede definir como una función continuamente diferenciable de algún parámetro, [math] f (t) [/ math], podemos definir su longitud como

[matemáticas] \ quad \ displaystyle L (f) = \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ N | f (t_i) -f (t_ {i-1}) | = \ int_a ^ b | f ‘(t) | dt [/ matemáticas]

Este es esencialmente el límite de la curva formada como líneas rectas por partes que unen puntos en la curva, que es equivalente a la definición de una integral de trayectoria. (Estoy ignorando las complicaciones derivadas del espacio multidimensional o más complicado por el que la curva podría estar moviéndose).

Un círculo en un plano es, por supuesto, perfectamente liso y puede definirse por [math] f (\ theta) = (\ sin \ theta, \ cos \ theta) [/ math].

La definición de longitud de una curva también es consistente con la longitud de una línea recta.

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¿Cuándo puedes cambiar el orden de dos límites?

Deje que [math] f_n (\ theta) [/ math] sea la curva cuadrada en la etapa [math] n [/ math], entonces sabemos:

• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} f_n (\ theta) = f (\ theta) [/ math]
• [matemáticas] L (f_n) = 4 [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} L (f_n) = 4 [/ matemáticas]

Desea poder decir que la longitud del círculo es igual al límite de las longitudes. Es decir:

[matemáticas] \ quad \ displaystyle L \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} f_n \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} L (f_n) [/ math]

Por lo tanto, desea cambiar el orden del límite implícito en [math] L () [/ math] con el límite explícito de las etapas.

Pero no puedes hacer eso en general. Por ejemplo, considere la función [matemáticas] g (m, n) = \ frac {m} {m + n} [/ matemáticas], luego

• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ lim_ {m \ to \ infty} g (m, n) \ right) = 1 [/ math] pero
• [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {m \ to \ infty} \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} g (m, n) \ right) = 0 [/ math]

Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para cambiar el pedido es en realidad un problema difícil …

En cierto sentido, lo que te detiene aquí es la falta de suavidad en la forma cuadrada que no es diferenciable en cada esquina. Necesitas esa suavidad si quieres medir una longitud 🙂

Answer 7

¡No hay nada malo en esto!

Pi es de hecho 4 aquí. Pero lo que sucedió es que has aumentado la tolerancia a la aproximación.

En algunos sistemas, 99 puede tomarse como igual a 100, pero en otros sistemas incluso 99.98 puede no aceptarse como 100. Depende de qué tan exactamente pueda medir su sistema y aquí está dividiendo la diferencia en perímetros de cuadrado y círculo en tantos valores insignificantemente pequeños, al afectar la precisión con la que puede medir su sistema a tales niveles que pi se vuelve aproximadamente igual a 4.

Esto es lo que ha sucedido aquí:
La diferencia entre la longitud del cuadrado y la longitud del arco del círculo que encierra siempre recuerda lo mismo (4 – 3.14 =) y es .86. Inicialmente hay 4 líneas de .215 unidades cada una.

Luego comienza a hacer el procedimiento anterior por primera vez y ahora se convierte en 8 líneas de .1075 unidades cada una. Ahora, después de cada iteración, estas mitades y después de un número considerable de iteraciones se vuelven lo suficientemente pequeñas como para que las ignore. Pero no se da cuenta de que en realidad hay una gran cantidad de tales líneas de longitud insignificante que no es evidente en la imagen y, cuando las suma, llega a 0,86.

Para darle una analogía, intenta medir la cantidad de agua en una habitación, pero simplemente toma un cuenco de agua de la habitación y lo salpica en el piso y luego simplemente ignora las pequeñas gotas de agua. Luego midió la cantidad de agua en la habitación sin incluir el tazón de agua.

Por lo tanto, simplemente ha comprometido la precisión de su sistema.

Answer 8

Primero comencemos con una regla simple de triángulos:
La longitud de un lado siempre es menor que la suma de dos lados en un triángulo.

Cuando procedemos de la manera que mencionaste, terminamos en un pequeño triángulo cuando la parte del círculo se parece a la hipotenusa de un triángulo en ángulo recto (el triángulo es demasiado pequeño) .

Por lo tanto, el perímetro del círculo sería la suma de todos los valores ‘c’ de los pequeños triángulos infinitesimales. Mientras que ha utilizado los valores a + b de todos los trianlges que terminan obteniendo un valor más alto 4.

Answer 9

La suposición de que se necesita saltar entre los dos últimos cuadrados es el único error: cada punto de este círculo está a una distancia [matemática] r = \ frac {d} {2} [/ matemática] desde el centro, pero no importa cuánto quitas de tu cuadrado, te queda el dilema de que cada punto de la estructura que generaste no está exactamente a una distancia del centro. Además, dependiendo de cómo corte las partes sobrantes, podría “probar” que pi es cualquier número, que es mayor que pi.

Editar: si, en lugar de cortar cuñas, cortar esquinas (y finalmente hacer un polígono de lados infinitos), la relación se reduce a pi, ya que cada “lado” es tangente al círculo, en lugar de ser puntiagudo.

Answer 10

Todas las respuestas dadas concuerdan con las mías. Sin embargo, trataré de decirlo de una manera ligeramente formal.

Veamos el problema, tenemos una secuencia de curvas [matemáticas] f_n (x) [/ matemáticas] que, en el caso límite, se parecen a una curva dada [matemáticas] g (x) [/ matemáticas]. La declaración precisa de “parece” es
[math] f_n (x) \ rightarrow g (x) [/ math] como n tiende a [math] \ infty [/ math] …… .. (1)

Bueno, con esto esperamos que las longitudes sean iguales. Sin embargo, las longitudes de las curvas son
[matemática] \ int \ sqrt {f’_n (x) ^ 2 + 1} dx [/ matemática] y la longitud de la curva dada es
[matemáticas] \ int \ sqrt {g ‘(x) ^ 2 + 1} dx [/ matemáticas]

Estos dos habrían sido iguales si [math] f’_n (x) \ rightarrow g ‘(x) [/ math] como n tiende a [math] \ infty [/ math], que no se sigue de (1). De hecho, [math] f’_n (x) [/ math] solo toma dos valores, 0 y [math] \ infty [/ math], alternativamente, y no está definido en algunos puntos.

Por lo tanto, no hay razón para que las curvas tengan longitudes casi iguales, solo porque casi se “parecen” entre sí. Lo que ciertamente se puede afirmar es que las áreas debajo de ellas son iguales, ya que el área es [math] \ int g (x) dx [/ math], que depende solo de g (x).

De hecho, podríamos usar el área para estimar el valor de [math] \ pi [/ math]. Calcule las áreas de la secuencia de curvas y equipare el límite al área del círculo.

Answer 11

Creo que la forma más fácil de entender esto es apreciar un concepto más amplio. Este es solo un buen ejemplo de cómo siempre puede ajustar una cantidad INFINITA de algo de una dimensión si sube a una cantidad distinta de cero de una dimensión superior. En cualquier volumen distinto de cero puede caber un área infinita, y en este caso en un ÁREA dada puede caber una cantidad infinita de longitud. La clave para verlo aquí es que incluso si repite este procedimiento infinitamente, puede observar que nunca obtendrá una línea / círculo suave, lo que se demuestra por el hecho de que siempre encerrará un área (que por supuesto es de aproximadamente 0,854 unidades cuadradas ) Entonces estás dibujando un círculo muy muy irregular, nunca se convierte en el círculo real.

Answer 12

Esta aparente paradoja es una variación de la paradoja diagonal , discutida aquí en mi blog Quora Paradoxicon. Citando:

La clave aquí es darse cuenta de que una propiedad de un límite no es necesariamente igual al límite de esa propiedad (una observación que surge en otras paradojas que involucran límites, como 0.9999 … = 1). La propiedad en este caso es la derivada de la ruta, que se puede considerar como la velocidad y la dirección en la que se camina, y que determina la longitud.

Para el resto de la explicación, incluida una analogía para pasear al perro, vea la publicación.

Answer 13

La noción de longitud para curvas arbitrarias no es un tema elemental, ni el área o el volumen ni ningún equivalente de volumen de dimensiones superiores.

La falacia comenzó con circunscribir el círculo. También fue posible comenzar inscribiendo el círculo (dibujando el primer cuadrado dentro del círculo) y haciendo refinamientos más finos. El valor de la longitud en “repetir hasta el infinito” solo sería igual al perímetro del círculo si la longitud estimada desde las curvas exteriores y las curvas interiores después de “repetir hasta el infinito” coinciden entre sí. Esto no sucede bajo el procedimiento actual.

La longitud de una curva cerrada se puede definir mediante el procedimiento que describí: si el límite de “repetir hasta el infinito” de polígonos circunscritos e inscritos son iguales, ese límite se llama longitud de la curva. Para una curva agradable como un círculo (curva continua, convexa), la longitud también se puede definir de manera única como el mínimo de la longitud de todos los polígonos posibles que se pueden dibujar alrededor de la curva.

Para la definición de infimum, consulte este enlace Infimum y supremum

Para aquellos obsesionados con el rigor e interesados ​​en el concepto general de medir cantidades geométricas (longitud, área, volumen, etc.), aquí hay un punto de partida: Medida externa

Cualquiera que lea hasta este punto siempre es bienvenido para futuras discusiones.

Answer 14

¿Alguna vez has encontrado microvellosidades en las células?

Rodean los bordes de los orgánulos y ciertas células para maximizar el área de superficie entre las membranas de intercambio.

Así es como se vería el ‘cuadrado’ con esquinas eliminadas después de muchas repeticiones, aunque parece una línea recta desde lejos, tendrá muchas perforaciones pequeñas que suman el área de la superficie.

A medida que tiende al infinito, el perímetro permanece igual pero las micro variaciones permanecen. Físicamente, nunca se puede alcanzar el infinito en geometría, la tendencia al infinito no es válida.

Answer 15

El perímetro del círculo será la suma del lado pitagórico de los triángulos pequeños, o la tangente.
Entonces, lo que está mal en la derivación anterior es que supone que el perímetro del círculo es ((suma de (x ^ 2) + (y ^ 2)) raíz, mientras que debería ser la suma de z ^ 2.

4 = (suma de (x ^ 2) + (y ^ 2)) ^ 1/2
pi = (suma de z ^ 2)
4 – pi = (suma de (x ^ 2) + (y ^ 2)) – (suma de z ^ 2)

Answer 16

Si te paras a 6 pies de una pared y das medio paso hacia la pared un número infinito de veces, nunca tocarás la pared.

Del mismo modo, si recorres la mitad de la distancia desde el perímetro de un cuadrado hasta el borde de un círculo, nunca tocarás el círculo a medida que te acerques. Incluso con un número infinito de “pasos”, su contorno del círculo no representa el círculo.

Una visualización extrema de esto podría ser algo similar. Noruega tiene solo unas mil millas de largo. Pero tiene 15,000 millas de costa.

Answer 17

Veamos qué supuestos utilizó Arquímedes y dónde falla el argumento de la pregunta.

Primero, una definición de concavidad y cuando dos curvas son cóncavas en el mismo lado. (De las obras de Arquímedes)

Luego, los axiomas que usaba para derivar longitudes de curvas.

Después de un par de proposiciones preliminares, usa estos axiomas para unir la circunferencia de un círculo entre los perímetros de un polígono inscrito y circunscrito.

Y en otro lugar usa 96 gons regulares para unir el valor de π entre [math] \ dfrac {223} {71} [/ math] y [math] \ dfrac {22} 7. [/ Math]

El argumento enunciado en esta pregunta sí muestra que [math] \ pi \ leq4 [/ math], pero eso es todo lo que muestra.

Lo que falta es la otra mitad que se necesitaría para concluir la igualdad. En ninguna parte se muestra que [math] \ pi \ geq4 [/ math], y, de hecho, no se puede mostrar que [math] \ pi \ geq4 [/ math] ya que, como lo demostró Arquímedes, [math] \ pi [/ math] es menor que [math] \ dfrac {22} 7 [/ math].

Hay una diferencia entre [matemáticas] <[/ matemáticas] y [matemáticas] = [/ matemáticas].

Answer 18

En la quinta imagen, no puede obtener un círculo “repitiendo hasta el infinito”. Eso solo te daría una figura con un número infinito de lados que no es un círculo.

Por ejemplo, al ver la imagen 4, observa que todavía hay un pequeño espacio entre el círculo y los bordes rectos dibujados. Si tuviera que “repetir hasta el infinito”, tendría un número infinito de tales bordes rectos, supuestamente con un espacio infinitamente pequeño entre los bordes y los círculos. La diferencia entre 4 y Pi surge del producto de este número infinito de espacios infinitamente pequeños.

Answer 19

La idea de que pi iguala a 4 proviene de la noción de que si dibujas un cuadrado alrededor de un círculo y luego haces un acercamiento a una escala muy pequeña y casi imperceptiblemente te desplazas en zigzag alrededor del círculo, terminarás con lo que parece cuando se aleja como un círculo perfectamente liso para el ojo sin ayuda, pero de hecho mide 4 en términos de su relación con su diámetro.

Esto también puede fascinarte. Es un experimento realizado por un estudiante de Miles Mathis que muestra que, en términos de medición de la órbita pi, el tiempo que tarda un objeto en navegar una órbita, en comparación con la distancia que recorre un objeto en una ruta en línea recta, entonces pi = 4.

http://milesmathis.com/pi7.pdf

Answer 20

lo que hizo aquí fue, tomó un elemento dx (o hizo una pequeña tangente a él) y midió la suma de sus proyecciones en el eje xy en el eje y, cuando realmente necesita medir la longitud dx (o tangente pequeña) y integrar. y todos sabemos que la suma de lados es mayor que la hipotenusa, por lo que de alguna manera nos da un límite para pi en lugar de un valor real.