6)
Tenemos que demostrar que
- Hay una solución con 6 triángulos rectángulos, y
- No puede haber una solución que solo necesite 5.
1. Aquí hay una solución con 6 triángulos rectángulos:
- ¿Cuál es la fórmula para determinar el área de un decágono?
- Con un trozo de alambre de acero de 20 cm de longitud, ¿cuál es el área más grande de un rombo en el que se puede doblar?
- ¿Cómo se puede demostrar que los círculos tienen un número infinito de ejes de simetría?
- Mientras usa un diagrama de Minkowski en un plano plano, ¿cómo puede realizar una transformación de Lorentz para encontrar un nuevo marco de referencia usando geometría?
- Un amigo no entiende que puedes tener un ángulo de 70 grados dentro de un tetraedro regular. Ella dice que el ángulo debe ser inferior a 60. ¿Cómo explico esto?
2. ¿Por qué 5 no funciona?
Dado que el ángulo entre dos lados del Pentágono no es [matemático] 90 ° [/ matemático], no puede haber un triángulo rectángulo que use dos de los lados. Entonces, el número de triángulos rectángulos debe ser al menos 5.
Supongamos que podemos dividir el Pentágono en 5 triángulos rectángulos. Distinguimos dos casos: el caso 1, donde los 5 triángulos se encuentran en un solo punto dentro del pentágono, y el caso 2, donde no.
Caso 1: Si todos estos se encuentran en un solo punto dentro del Pentágono, entonces la suma de los ángulos en este punto debe ser [matemática] 360 ° [/ matemática]. Cada triángulo es un triángulo rectángulo, por lo que todos se encuentran en ese punto con un ángulo de [matemáticas] 90 ° [/ matemáticas]. Esto significa que la suma de los cinco ángulos es [matemática] 5 \ cdot90 ° = 450 ° \ neq360 ° [/ matemática]. Esto es una contradicción.
Caso 2: Comenzamos con un solo triángulo, como este:
Un segundo triángulo puede compartir la esquina “interna” con este triángulo, o no. Asumamos lo último:
El tercer triángulo debe compartir la nueva esquina con el segundo (de lo contrario no sería un triángulo):
Lo mismo es cierto para el cuarto y quinto triángulo:
Como vemos, la forma 4 no es un triángulo en general. Solo puede ser un triángulo si las líneas A y B son la misma línea:
Los ángulos alfa, beta y gamma suman [matemática] 180 ° [/ matemática], lo que significa que no todos pueden ser ángulos rectos. Nuevamente llegamos a una contradicción.
Esto muestra que es imposible dividir el pentágono regular en 5 triángulos rectángulos.
(Respuesta original editada para corregir un error).