Cómo encontrar el vértice y el eje de simetría

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En matemáticas hablamos de vértices y ejes de simetría para curvas que llamamos secciones cómicas. Esas son curvas en 2-D que puedes graficar en papel, como un círculo o un círculo extendido ovalado que llamamos elipse. Esos gráficos 2-D son simétricos. Si encuentra una línea tal que un lado del gráfico es una imagen especular del otro, ese es un eje de simetría. En un círculo, cualquier línea que contenga un diámetro sería un eje de simetría. Sin embargo, hay un número infinito de ellos, por lo que no es divertido, y no hablamos de ejes de simetría para círculos. La imagen de un huevo tiene un eje de simetría. Una imagen de una pista rave tiene dos ejes de simetría.

En la vida real, las cosas no son perfectamente simétricas y las formas pueden ser bastante complejas. En matemáticas tratamos con formas abstractas e idealizadas. Las secciones cónicas son formas que podrías obtener intersectando un doble cono y un plano. En la vida real, un cono de helado y la imaginación pueden darle una buena idea de cómo son esas curvas de sección crónicas. Podrías darle a un cono de waffle de helado una base plana para que pueda levantarse. A continuación, puede llenarlo todo con helado y ponerlo boca abajo. Si luego lo corta en horizontal, la superficie de corte le mostrará un círculo de helado limitado por una circunferencia de cono de waffle. Lo que llamamos un círculo en matemáticas suele ser ese límite circular, imaginado como una línea infinitamente delgada. (A veces hablamos de “dentro del círculo”, pero en general solo nos importa la línea que lo rodea. A eso nos referimos cuando hablamos de la ecuación de un círculo.

Si corta el cono en un ligero ángulo con la horizontal, obtendrá una curva cerrada que podría llamar un “óvalo”, pero es una elipse. A diferencia de “ovalado”, elipse es un término bien definido. Como un círculo, una elipse es una curva cerrada, pero al ser un “círculo estirado”, tiene solo dos ejes de simetría. El eje de simetría largo se llama eje mayor, y el más corto es el eje menor. El punto donde se unen esos dos ejes es el centro de la elipse. Aunque a menudo pensamos en un eje de simetría como una línea infinitamente larga sin extremos, cuando hablamos de elipses solo nos importa el segmento que no está fuera de la elipse, y hablamos de la “longitud del eje mayor” (a veces omitiendo la parte de “longitud de”). Los puntos de elipse en los extremos del eje mayor se llaman vértices. Y el centro de la forma del segmento a uno de los vértices (y / o su longitud) se llama el “eje semi-mayor”. Los vértices son los extremos más puntiagudos de la elipse, los lugares donde se curva más apretadamente. Si intenta superponer un arco corto de elipse en otra parte de la elipse, se dará cuenta de que no tiene la misma forma que una pista de carreras; La curvatura varía todo el tiempo. Los puntos curvos son los vértices, y la parte menos curva está alrededor de los extremos del eje menor. Llamamos a esos extremos del eje menor “co-vértices”.

Volviendo al cono lleno de helado, si corta en una dirección paralela a la inclinación del cono, hasta la base, obtendría otra curva de sección cómica llamada parábola. Debido a que el cono de helado terminó en la base, lo que ves en ese corte no es una parábola completa. Tienes que imaginar un cono infinito e infinito para tener una idea de cómo es una parábola. También tiene un eje de simetría (solo uno), y pasa por el extremo más puntiagudo, el punto donde comenzó el corte. Ese punto, en el eje, es el punto de curvatura de grandeza, y también se llama vértice. La parábola, muere no tiene dos vértices, sino un solo vértice. No es una curva cerrada, como un círculo o una elipse, sino que es solo una curva, o como diríamos una rama. También es genial, ya que un primer plano de la curva se ve igual que la parábola desde la distancia. Más cerca o más lejos, puede reconocerlo como una parábola.

Si pudiera tener dos conos rellenos de helado de punta a punta y cortarlos en un plano vertical, la sección de corte se vería como una curva que llamamos una hipérbola. Una hipérbola se ve como dos parábolas enfrentadas vértice a vértice, pero las apariencias pueden ser engañosas. Los puntos que consideraría vértices se llaman vértices. Son los puntos “más curvos” de la curva. La línea que los atraviesa (o el segmento entre ellos, o su longitud) se llama “eje transversal, y es un eje de simetría. El punto medio de ese segmento se llama el centro de la hipérbola, y la línea perpendicular al eje transversal en ese punto es otro eje de simetría, llamado “eje conjugado”. La hipérbola se llama “una curva”, pero tiene dos partes separadas que llamamos ramas. También tiene dos ejes de simetría. Aunque puede parecer una especie de dos parábolas, cuanto más lejos mire el padre, más cambia la forma, los extremos infinitos se ven más y más rectos. Lo suficientemente lejos, los vértices parecen tocarse, y todo parece una X. De hecho, si corta la punta establecida de dos conos para inclinarse verticalmente a través del centro de sus bases, obtendría una forma de X, dos líneas de intersección, y un profesor de matemáticas podría llamar a eso una “hipérbola degenerada”, no hablo de una sección cómica. Solo me gustan las secciones cónicas que no se cortan a través del ápice de los conos.