Como encontrar el volumen de una esfera

Answer 1

Puede que no te guste esto, pero siento la necesidad de hacerlo. Derivaré la ecuación para el volumen de una esfera.

* Advertencia: el cálculo estará involucrado aquí *

Examinemos qué es una esfera. Una esfera puede considerarse la figura cortada al girar la curva para un círculo (con radio r y centro en el origen (0,0) de un plano de coordenadas xy) alrededor del eje y.

Ahora calculemos el volumen de la mitad superior de la esfera. Podemos duplicar esto para obtener el área total.

La función para la parte superior de un círculo es

[matemáticas] f (x) = \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} [/ matemáticas]

Funcionalmente, el volumen del hemisferio superior es idéntico al de la revolución de la parte de esta curva unida por 0 <x <r alrededor del eje y.

Aquí es donde entra la parte integral del cálculo.

Hay varias formas de proceder. Personalmente, preferiría usar el método cilíndrico para calcular el volumen de esta revolución.

Básicamente, este método implica tomar la suma de los volúmenes de capas cilíndricas infinitamente delgadas de radio dx y altura f (x) entre x = 0 y x = r, que se representa mediante la ecuación:

[matemáticas] V = \ int_0 ^ r 2 \ pi x \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Ahora tenemos que evaluar esta integral.

Comencemos distribuyendo [math] \ pi [/ math]:

[matemáticas] V = \ pi \ int_0 ^ r 2x \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Este parece ser un buen momento para el método de sustitución. Sea [math] u = r ^ 2-x ^ 2 [/ math], [math] dx = -2x [/ math].

[matemáticas] V = – \ pi \ int_ {r ^ 2} ^ 0 u ^ {\ frac {1} {2}} \, du [/ matemáticas]

Esa antiderivada es fácil de evaluar:
[matemáticas] – \ pi \ int u ^ {\ frac {1} {2}} \, du = – \ frac {2} {3} \ pi u ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas ]

Conectando de nuevo [matemática] r ^ 2-x ^ 2 [/ matemática] para usted y evaluando la integral definida da

[matemáticas] V = – \ frac {2 \ pi} {3} [(r ^ 2-r ^ 2) ^ {\ frac {3} {2}} – (r ^ 2-0 ^ 2) ^ {\ frac {3} {2}}] = \ frac {2 \ pi} {3} (r ^ 2) ^ {\ frac {3} {2}} = \ frac {2} {3} \ pi r ^ 3 [/matemáticas]

Este es el volumen del hemisferio superior de la esfera. Duplícalo por el volumen total.

[matemáticas] Volumen [/ matemáticas] [matemáticas] de [/ matemáticas] [matemáticas] esfera = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemáticas]

Básicamente, lo que esto significa es que para encontrar el volumen de una esfera, simplemente necesita multiplicar el cubo de su radio por [matemáticas] \ frac {4} {3} \ pi [/ matemáticas]. Es así de simple.

Por ejemplo, dada una esfera de radio 5, el volumen es

[matemáticas] \ frac {4} {3} \ pi (5) ^ 3 = \ frac {4} {3} \ pi (125) [/ matemáticas]

[matemática] = \ frac {500 \ pi} {3} [/ matemática], o aproximadamente 523.60 unidades en cubos.

Answer 2

El volumen de la esfera se puede encontrar usando cálculo y sin usar cálculo. Te explicaría el enfoque de cálculo

Usando triple integración:

Usando Volumen de Sólido de Revolución:

El elemento diferencial estaría dado por,

La suma de los elementos cilíndricos es 0 a r para un hemisferio. Por lo tanto, el volumen de una esfera es x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2.

De la ecuación del círculo,

V = (4/3) .π. (R ^ 3)

Este video le dará una idea adecuada de la derivación anterior.

Arquímedes derivó por primera vez el volumen de una esfera y es anterior al cálculo en más de una docena de siglos.

Usó un cilindro circunscrito. De hecho, su método (Método de agotamiento) se refinó más tarde en el principio de Cavalieri y se considera un primer paso hacia el cálculo.

Answer 3

El volumen de una esfera se calcula en función de su radio utilizando la siguiente fórmula:

• [matemáticas] v = \ frac {4} {3} \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 [/ matemáticas]

Nota : la respuesta estará en unidades cúbicas del radio de entrada. Por ejemplo, si ingresa el radio en centímetros, la respuesta será en centímetros cúbicos.

Answer 4

Supongamos que esta es tu esfera.

Una esfera es un objeto geométrico perfectamente redondo en un espacio tridimensional que es la superficie de una bola completamente redonda.

La fórmula para el volumen de la esfera es 4/3 pi r * r * r

Ahora lo único que debes saber aquí es el radio. También el radio es la mitad del diámetro. Entonces, si se le da el diámetro … Simplemente tiene que dividirlo entre 2 y colocar el número en lugar de r. Además, el valor de pi es 3.14 o 22/7. Elija el que lo llevará a un cálculo fácil.

Ahora, por ejemplo, si tenemos que encontrar el volumen de la esfera con radio 7, simplemente pondremos el valor de r en la fórmula que es (4/3) * (22/7) * 7 * 7 * 7

Tan sencillo como eso. 🙂

Answer 5

Depende de con qué información tenga que comenzar. En general, querrás derivar el radio de la esfera a partir de esta información mediante el uso de varias otras fórmulas que puedes resolver para r.

Una vez que tenga el radio (3, supongamos) puede enchufarlo para r en la fórmula:

[matemática] V = \ frac43 \ pi r ^ 3 [/ matemática]

[matemáticas] V = \ frac43 \ pi (3) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] V = \ frac43 \ pi (27) [/ matemáticas]

[matemáticas] V = 36 \ pi [/ matemáticas]

Si es necesario, ahora puede sustituir una aproximación de [math] \ pi [/ math] para obtener una respuesta aproximada.

[matemáticas] V \ aprox 36 (3.14) [/ matemáticas]

[matemáticas] V \ aproximadamente 113.04 [/ matemáticas]

No olvide sus unidades, si se proporcionan, que deben ser unidades cúbicas de la misma unidad de longitud en la que estaba el radio, como cm ^ 3, m ^ 3, in ^ 3, ft ^ 3.

Answer 6

La fuente de información y la calculadora simple para calcular – Volumen de una esfera | Calculadora de volumen de esfera

Answer 7

[matemática] \ en caja {\ frac {4} {3} \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3} [/ matemática]

Donde [math] r [/ math] es el radio de la esfera.