Encuentre el volumen del sólido generado, cuando el área entre la elipse 4x ^ 2 + 9y ^ 2 = 36 y el acorde AB, con A = (3,0), B = (0,2); se gira sobre el eje X?

Answer 1

Dado,
4x ^ 2 + 9y ^ 2 = 36 es decir x ^ 2/3 ^ 2 + y ^ 2/2 ^ 2 = 1 …………… .. (I)
es decir, y ^ 2 = 4– (4/9) x ^ 2 …………………… (II)
El volumen requerido de sólido generado por la revolución del área entre el acorde AB y la elipse (I) sobre el eje X viene dado por ,
V = Volumen de sólido generado por elipse-Volumen de sólido generado ( CONO con círculo base de radio 2 y altura 3) por acorde AB = Int (π * y ^ 2) .dx (límites: x = 0 a 3) – ( 1/3) * (π * 2 ^ 2) * 3 = π * Int {4- (4/9) * x ^ 2} .dx (límites: x = 0 a 3) -4π = π * {4x- (4/9) * (x ^ 3/3)} (límites: x = 0 a 3) -4π = π * (12–4) -4π = 8π-4π = 4π cub. unidades

O

simplemente
V = Volumen del semi-elipsoide (con a = 3 & b = c = 2) -Volumen del cono (con r = 2 & h = 3) = (2/3) * π * abc- (1/3) * (πr ^ 2) * h = (2/3) * π * 3 * 2 * 2- (1/3) * (π * 2 ^ 2) * 3 = 8π-4π = 4π cub. unidades o 12.56637061435… cub. unidades