Para una pregunta de tarea, ¿cuál es el área del rectángulo?

Answer 1

Como el área de un rectángulo es base × altura,

Área de [matemáticas] PQRS = PS × SR [/ matemáticas]

Comenzaremos declarando algunas manos cortas,

[matemáticas] BOA = a = BPS [/ matemáticas]

[matemáticas] SOA = \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] BOS = a – \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] OS = r [/ matemáticas]

Aquí [matemática] BOA = BPS [/ matemática] como [matemática] PS \ paralela OA [/ matemática]

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Mira eso

[matemáticas] KS = PS \ sin a = r \ sin {(a- \ theta)} [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] PS = r \ dfrac {\ sin {(a- \ theta)}} {\ sin a} [/ matemáticas]

Alternativamente, use la ley de los senos en [matemáticas] ∆POS [/ matemáticas]

[matemáticas] SR = 2 × SN = 2r \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

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Por lo tanto, el área de [matemáticas] PQRS [/ matemáticas]

[matemáticas] = PS × SR [/ matemáticas]

[matemática] = 2r \ sin {\ theta} × r \ dfrac {\ sin {(a- \ theta)}} {\ sin a} [/ math]

Por lo tanto, el área es

[matemáticas] \ dfrac {2r² \ sin {\ theta} \ sin {(a- \ theta)}} {\ sin a} [/ matemáticas]

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PD: He usado el diagrama del señor Awnon Bhowmik.

Espero que no le importe.

Answer 2

Encuentre la longitud SR por la fórmula del coseno: (t = theta, a = alpha)

SR ^ 2 = 2r ^ 2 – 2r ^ 2.Cos (2t) = 2r ^ 2 (1 – Cos (2t))

Ahora, Cos (2t) = Cos ^ 2 (t) – Sin ^ 2 (t) y Cos ^ 2 (t) + Sin ^ 2 (t) = 1 y así

2r ^ 2 (1 – Cos (2t)) = 2r ^ 2 (2Sin ^ 2 (t)) y así

SR = 2rSin (t) = PQ. Ahora haga el punto medio de PQ, N y NQ = rSin (t).

Ángulo AOC = a, y entonces Tan (a) = rSin (t) / ON = Sin (a) / Cos (a) y así

ON = rSin (t) .Cos (a) / Sin (a).

Ahora haga el punto medio de SR, M. Deseamos encontrar la longitud MA. Recordando que la mitad de SR es rSin (t) y el ángulo ORS es 90 – ty AOR = t. Por lo tanto, OM = rCos (t), por lo tanto, MA = r – OM = r – rCos (t) = r (1 – Cos (t)).

Ahora, PS = r – ON – MA = r – rSin (t) .Cos (a) / Sin (a) – r (1 – Cos (t)), por lo tanto,

PS = rCos (t) – rSin (t) .Cos (a) / Sin (a) = r [Cos (t) Sin (a) – Sin (t) Cos (a)] / (Sin (a))

El área de PQRS es, por lo tanto, PS * SR = 2r ^ 2Sin (t) [Cos (t) Sin (a) – Sin (t) Cos (a)] / Sin (a)

= 2r ^ 2Sin (t) [Sin (a – t)] / Sin (a), según sea necesario.

Answer 3

* A2A

Tuve que volver a dibujar la imagen para agregar algunos puntos extra, que me ayudarán a llegar a la solución.

[matemáticas] \ text {Usando la fórmula del coseno en} \ Delta OSR \\ \ begin {ecation} \ begin {split} SR ^ 2 & = r ^ 2 + r ^ 2-2r ^ 2 \ cos 2 \ theta \\ SR ^ 2 & = 2r ^ 2-2r ^ 2 \ cos2 \ theta \\ SR ^ 2 & = 2r ^ 2 (1- \ cos 2 \ theta) \\ SR ^ 2 & = 2r ^ 2 (2 \ sin ^ 2 \ theta) \ \ SR & = 2r \ sin \ theta \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ text {Let} OP = r ‘\\ \ text {Estamos obligados a tomar la diferencia de las alturas de} \ Delta OSR \ text {y} \ Delta OPQ \\ \ text {para encontrar la longitud de } PS \ text {o} QR \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} PS & = ON-OM \\ & = r \ cos \ theta-r ‘\ cos \ alpha \ end {split} \ end {equation} \ tag * {} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ text {También, usando el hecho de que} PM = SN \\ PM = r ‘\ sin \ alpha \\ SN = r \ sin \ theta \\ r’ \ sin \ alpha = r \ sin \ theta \ \ \ implica r ‘= \ dfrac {r \ sin \ theta} {\ sin \ alpha} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ text {Entonces,} \\\ begin {ecation} \ begin {split} PS & = r \ cos \ theta-r ‘\ cos \ alpha \\ & = r \ cos \ theta- \ dfrac {r \ sin \ theta \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha} \\ & = r \ left (\ dfrac {\ sin \ alpha \ cos \ theta- \ sin \ theta \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha} \ derecha) \\ & = \ dfrac {r \ sin (\ alpha- \ theta)} {\ sin \ alpha} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ text {Área del rectángulo} & = SR \ cdot PS \\ & = 2r \ sin \ theta \ cdot \ dfrac {r \ sin (\ alpha- \ theta )} {\ sin \ alpha} \\ & = \ dfrac {2r ^ 2 \ sin \ theta \ sin (\ alpha- \ theta)} {\ sin \ alpha} \ end {split} \ end {ecation} \ tag *{}[/matemáticas]

Answer 4

① Deje que los puntos medios de PQ, SR, sean M, N, respectivamente.

② Llamar SR = x = PQ

Llamar SP = y = MN = QR

③ En △ OSR,

(SR) ² = (OS) ² + (OR) ²-2 (OS) (OR) (cos∠SOR)… 【Regla del coseno】

x² = r² + r²-2r²cos2θ

x² = 2r² (1-cos2θ)

x² = 2r² (2sin²θ) = (2rsinθ) ²

x = 2rsinθ ■■ ☜

④ En △ ORQ,

∠OQP = 90-α

∠OQR = 90 + ∠OQP = 180-α

QR / sin∠ROQ = OR / sin∠OQR… 【Regla senoidal】〗

QR / sin (α-θ) = r / sin (180-α)

y / sin (α-θ) = r / sinα

y = rsin (α-θ / sinα) ■■ ☜

⑤ ∴ÁREA DE PQRS DE RECTÁNGULO:

= xy

= (2rsinθ) (rsin (α-θ) / sinα)

= 2r²sinθsin (α-θ) / sinα ■■ ↙↙…

〖〖〖〖〗〗〗

Answer 5

1. La longitud de OA es la proyección ortogonal de [OS] en [OA]: llámelo L, luego [math] L = r.cos (\ theta) [/ math]
2. Lo mismo ocurre con OP ortogonal proyectado en OA: llámelo l ‘, luego [math] l’ = r’.cos (\ alpha) [/ math] (r ‘= longitud de OP)
3. Si l es la longitud de PS entonces [matemática] l = L-l ‘= [/ matemática] [matemática] r.cos (\ theta) -r’.cos (\ alpha) [/ matemática]
4. La longitud media de SR es la proyección de OS en SR u OP en PQ: llámelo d, luego [math] d = r.sin (\ theta) = r’.sin (\ alpha) [/ math].
5. Aquí deduces [math] r ‘= r.sin (\ theta) / sin (\ alpha) [/ math].
6. Póngalo en 3, de modo que tenga l como una función de r, [math] \ theta [/ math] y [math] \ alpha [/ math] solamente.
7. Finalmente, el área del rectángulo es [matemáticas] 2d.l = r.sin (\ theta) .l [/ matemáticas], por lo tanto, obtienes la igualdad que se muestra en tu pregunta ordenando un poco el resultado en 6.

Answer 6

Para encontrar SR usamos la relación de trigonometría de [matemáticas] \ sin [/ matemáticas] que es [matemáticas] \ frac {opuesto} {hipotenusa} [/ matemáticas] Obtenemos

[matemática] \ sin \ angle SOA = \ dfrac {(S.to.midpoint)} {SO} [/ math]

[matemáticas] \ sin \ theta = \ dfrac {\ dfrac {SR} {2}} {SO} [/ matemáticas]

Como sabemos [matemáticas] SO = r [/ matemáticas]

[matemáticas] SR = 2r \ sin \ theta [/ matemáticas]

Para encontrar [matemáticas] PS [/ matemáticas] decidí usar la ley de los senos (creo que hay otras formas) que es,

Lo que necesitamos para encontrar el [matemáticas] \ ángulo [/ matemáticas] [matemáticas] OSP [/ matemáticas] y la longitud de [matemáticas] PO [/ matemáticas] para hacer

Porque [math] PS [/ math] es paralelo a [math] OA [/ math] encontramos que

[matemáticas] \ ángulo [/ matemáticas] [matemáticas] SOA = \ ángulo OSP = \ theta [/ matemáticas]

Para encontrar [math] PO [/ math] usamos las relaciones de trigonometría nuevamente pero en [math] \ angle \ alpha [/ math]. Obtenemos

[matemáticas] \ sin \ alpha = \ dfrac {\ dfrac {2r \ sin \ theta} {2}} {PO} [/ matemáticas]

[matemáticas] PO = \ dfrac {r \ sin \ theta} {\ sin \ alpha} [/ matemáticas]

Y luego la ley de los pecados

[matemáticas] \ dfrac {\ sin \ angle OSP} {PO} = \ dfrac {\ sin \ angle POS} {PS} [/ math]

[matemática] \ sin \ angle OSP * PS = \ sin \ angle POS * PO [/ math]

[matemáticas] PS \ sin \ theta = \ sin (\ alpha- \ theta) * \ dfrac {r \ sin \ theta} {\ sin \ alpha} [/ math]

[matemáticas] PS = \ sin (\ alpha- \ theta) * \ dfrac {r \ sin \ theta} {\ sin \ alpha} * \ dfrac {1} {\ sin \ theta} [/ math]

[matemáticas] PS = \ dfrac {r \ sin (\ alpha- \ theta)} {\ sin \ alpha} [/ matemáticas]

Ahora solo tenemos que multiplicar [matemáticas] PS [/ matemáticas] por [matemáticas] SR [/ matemáticas]

A de [matemáticas] PQRS = \ dfrac {r \ sin (\ alpha- \ theta)} {\ sin \ alpha} * 2r \ sin \ theta [/ math]

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A de [matemáticas] PQRS = \ dfrac {2r ^ 2 \ sin \ theta \ sin (\ alpha- \ theta)} {\ sin \ alpha} [/ math]