Sí, hace miles de años.
Euclides demostró (Elementos de Euclides, Libro XII, Proposición 2) que un círculo es proporcional al cuadrado en su diámetro, o en términos modernos que [matemáticas] A \ propto d ^ 2 [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] A \ propto r ^ 2 [/ math], o, usando [math] \ pi [/ math] para la constante de proporcionalidad, [math] A = \ pi r ^ 2 [/ math]. Arquímedes demostró que el área de un círculo es igual a la mitad del radio multiplicado por la circunferencia, o [matemáticas] A = \ frac {1} {2} Cr [/ matemáticas], o en otras palabras, [matemáticas] A = \ pi r ^ 2 = \ frac {1} {2} Cr \ implica 2 \ pi r = C \ implica \ pi d = C [/ matemáticas].
En otro lugar, Euclides había demostrado que para polígonos similares, los segmentos de línea (como perímetros, bordes, altitudes, etc.) se escalaban como la razón de cualquier distancia dada, mientras que las áreas se escalaban como el cuadrado de la razón de cualquier distancia dada. Tome dos polígonos [matemática] P = ABC \ ldots G, P ‘= A’B’C’ \ ldots G ‘[/ math], y tiene [matemática] \ frac {AB} {A’B’} = \ frac {BG} {B’G ‘}, \ frac {P} {P’} = \ left (\ frac {AB} {A’B ‘} \ right) ^ 2 [/ math]
Esto es insuficiente para probar el caso de los círculos, porque los círculos no son polígonos, y los métodos para extender el argumento a figuras curvas estaban más allá de los métodos y conceptos de Euclides.
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Arquímedes usó el “método de agotamiento” para demostrar su parte en el rompecabezas. Esencialmente, el método de agotamiento es como la noción moderna de límites. Si bien el trabajo de Arquímedes podría no considerarse riguroso hoy en día, puede hacerse convirtiéndolo al lenguaje moderno de los límites. Una buena discusión sobre la prueba de Arquímedes se encuentra en Arquímedes sobre la circunferencia y el área de un círculo .
Básicamente, lo que hizo fue mostrar que había límites computables por encima y por debajo del valor que estaba buscando, y luego fue capaz de mostrar para apretar esos límites. Arquímedes demostró que el área de un triángulo [matemática] T [/ matemática] con una base igual a la circunferencia [matemática] C [/ matemática] de un círculo y una altura igual al radio [matemática] r [/ matemática] tenía el mismo área como el círculo. Lo hizo al demostrar que el área de [matemáticas] T [/ matemáticas] era un límite inferior y superior en el área del círculo, por lo que tenían que ser iguales.
Para probar el límite inferior, miró los [math] n [/ math] -gons regulares inscritos dentro del círculo. Arquímedes hizo tres afirmaciones (lemas en la terminología actual): (1) El área de un [math] n [/ math] -gon inscrito es menor que el área del círculo; (2) La diferencia en el área entre un círculo y un [matemático] 2n – [/ math] gon incribado es menos de la mitad de la diferencia en el área entre un círculo y un [matemático] n [/ math] -gon incribado (si llame a la diferencia en el área para un [math] n [/ math] -gon [math] \ delta_n [/ math] inscrito, entonces esta afirmación es que [math] \ delta_ {2n} 0 [/ math], hay un número entero [math] n [/ math] tal que [math] 0 < \ frac {1} {n} <\ epsilon [/ math]), puede mostrar que si el área del círculo es más grande que el área del triángulo [math] T [/ math] en alguna área positiva [math] d [/ math], entonces hay una [math] n [/ math] tal que [math] \ delta_n <d [/ math], que contradice la afirmación de que el polígono inscrito es menor que [math] T [/ math ] Por lo tanto, el área del círculo no puede ser mayor que el área de [matemáticas] T [/ matemáticas].
De manera similar, para el límite superior, miró los gons [matemáticos] n [/ matemáticos] regulares circunscritos fuera del círculo. Hizo un argumento análogo para mostrar que el área del círculo no podía ser más pequeña que el área de [matemáticas] T [/ matemáticas]. Como no podría ser más grande y no podría ser más pequeño, debe ser igual.
Como (por Euclides) el área del círculo se escala con [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas], eso debe significar que el área de [matemáticas] T [/ matemáticas] se escala con [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas] (ya que son iguales, por Arquímedes), y dado que [matemáticas] T = 1/2 Cr [/ matemáticas], eso debe significar que [matemáticas] 1/2 Cr \ propto r ^ 2 \ implica C \ propto r \ propto D [/ math] o [math] \ frac {C} {D} [/ math] es una relación constante.