Respuesta rápida: [matemáticas] A \ approx4.312097 [/ matemáticas]
Si desea ver exactamente cómo resolví esto, mire a continuación.
Algunas de las otras personas que respondieron han dicho que esto no es un círculo, porque las ecuaciones que usted dio son los límites de un triángulo. Voy a suponer que te referías a este tipo de gráfico.
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- Para una pregunta de tarea, ¿cuál es el área del rectángulo?
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- La longitud de un rectángulo es 4 cm mayor que su ancho El perímetro es 24 cm ¿Encuentra el área del rectángulo?
- Un cuadrado de lados de 13 cm tiene dos puntos E y F en el exterior, de modo que BE = DF = 5 cm y AE = CF = 12 cm. ¿Qué es EF ^ 2?
Ahora, el primer paso para resolver este problema es que necesitamos averiguar cuál es nuestro radio. (Obviamente para que podamos calcular nuestra área en la forma [math] \ pi * r ^ 2 = A [/ math])
Ahora para obtener nuestro radio, necesitamos obtener la ecuación de nuestro círculo para poder encontrar el radio.
Nuestros pasos son ahora los siguientes:
- Encuentre la ecuación de círculo que está limitada por estas funciones.
- Usa esa ecuación para encontrar el radio del círculo.
- Usa el radio de ese círculo para encontrar nuestra área.
PASO 1:
Comencemos con la forma general de nuestro círculo.
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
Si comenzamos dibujando un círculo con cierta prisa, podríamos dibujar algo como esto:
Este círculo aquí fue realmente fácil de crear, porque podría insertar un valor de 1 para [matemática] h [/ matemática] y 3 para [matemática] k [/ matemática], y usar [matemática] r = 2 [/ matemáticas]. Esto nos lleva a problemas, porque ahora sabemos que los valores de [matemática] h [/ matemática], [matemática] k [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática] serán un poco raros, y números no normales como 1, 2 y 3.
A partir de nuestra ecuación circular original, busquemos primero un valor para [math] r [/ math]. Usando cierta lógica, podemos determinar que el radio de nuestro círculo es igual a la distancia entre [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2,2) [/ matemáticas].
[matemáticas] d = \ sqrt {(y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] d = r = \ sqrt {(k-2) ^ 2 + (h-2) ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora, conectemos lo que acabamos de descubrir es igual a [math] r [/ math] en nuestra ecuación circular.
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = (\ sqrt {(k-2) ^ 2 + (h-2) ^ 2}) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = (k-2) ^ 2 + (h-2) ^ 2 [/ matemáticas]
En este punto, probablemente el mejor método para resolver [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas] sería expresar una de las variables en términos de otra. Voy a elegir expresar [matemáticas] k [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] h [/ matemáticas].
Muy temporalmente, voy a retroceder en el radio solo para que podamos descubrir qué es k en términos de h.
Lógicamente, su desplazamiento x, o [matemática] h [/ matemática], restará su radio de 2. Nuestro desplazamiento y, o [matemática] k [/ matemática], sumará 2 a nuestro radio.
Obtenemos [matemáticas] h = 2-r [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 2 + r [/ matemáticas]
Podemos hacer una sustitución realmente fácil para encontrar que [math] k [/ math] [math] = 4-h [/ math].
Tomemos eso y conectemos de nuevo a nuestra ecuación para nuestro círculo.
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = (k-2) ^ 2 + (h-2) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (y-4 + h) ^ 2 = (2-h) ^ 2 + (h-2) ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora que solo tenemos una variable para resolver en nuestra ecuación, esto lo hace más fácil.
Eventualmente tendremos que usar la ecuación cuadrática para resolver h, así que de antemano vamos a mover una variable, x en un lado para que podamos establecerla más fácilmente en cero.
[matemáticas] (xh) ^ 2 = (h-2) ^ 2 + (2-h) ^ 2- (y-4 + h) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] xh = \ pm \ sqrt {(h-2) ^ 2 + (2-h) ^ 2- (y-4 + h) ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora, como estamos encontrando el valor de h que nos establece exactamente igual a [matemática] xh = 0 [/ matemática], establezcamos ([matemática] xh) [/ matemática] igual a 0 en esta ecuación que acabamos de encontrar.
[matemáticas] 0 = \ pm \ sqrt {(h-2) ^ 2 + (2-h) ^ 2- (y-4 + h) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = (h-2) ^ 2 + (2-h) ^ 2- (y-4 + h) ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora, configuremos [math] y = 4 [/ math] para que podamos encontrar cuál es nuestro valor de [math] h [/ math].
[matemáticas] 0 = (h-2) ^ 2 + (2-h) ^ 2-h ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = h ^ 2-4h + 4 + h ^ 2-4h + 4-h ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = h ^ 2-8h + 8 [/ matemáticas]
¡Hey Mira! ¡Ecuación cuadrática!
[matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = -8 [/ matemática], [matemática] c = 8 [/ matemática]
[matemáticas] h = \ frac {8 \ pm \ sqrt {64-4 (1) (8)}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] h = \ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] h = 4 \ pm2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Si usamos [math] h = 4 + 2 \ sqrt {2} [/ math], nuestro gráfico se ve así.
Si usamos [math] h = 4-2 \ sqrt {2} [/ math], nuestro gráfico se ve así.
Ahora el segundo es lo que queremos. Ahora sabemos que [matemática] h [/ matemática] es igual a [matemática] 4 [/ matemática] [matemática] -2 \ sqrt {2} [/ matemática]. Para volver a conectar esto a nuestra ecuación original, necesitamos descubrir qué es [math] k [/ math]. ¿Recuerdas cómo resolvimos [matemáticas] k [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] h [/ matemáticas]? Sip.
[matemáticas] k = 4-h [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 4- (4-2 \ sqrt {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Ahora solo arrojemos a esos dos tipos a nuestra ecuación circular.
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-4 + 2 \ sqrt {2}) ^ 2+ (y-2 \ sqrt {2}) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]
Paso uno logrado!
PASO 2:
Encontremos nuestro radio ahora. ¿Recuerdas cómo resolvimos el radio en términos de [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas]? Bueno, podemos usar eso de nuevo.
[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = (k-2) ^ 2 + (h-2) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-4 + 2 \ sqrt {2}) ^ 2+ (y-2 \ sqrt {2}) ^ 2 = (2 \ sqrt {2} -2) ^ 2 + (2-2 \ sqrt {2}) ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora simplifiquemos el lado derecho para encontrar nuestra [matemática] r ^ 2 [/ matemática].
[matemáticas] (x-4 + 2 \ sqrt {2}) ^ 2+ (y-2 \ sqrt {2}) ^ 2 = 24-16 \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Ahora sabemos que [matemáticas] r ^ 2 = 24-16 \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] r = \ sqrt {24-16 \ sqrt {2}} [/ math]
PASO 3:
Simplemente conectemos ese radio que acabamos de encontrar en la fórmula para el área de un círculo.
[matemáticas] A = \ pi * r ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ pi * (24-16 \ sqrt {2}) [/ matemáticas]
[matemática] A \ aprox4.312097 [/ matemática]
¿No son mágicas las matemáticas?