¿Cuál es una forma (relativamente) simple de encontrar el área máxima de un cuadrilátero dada la longitud de cuatro lados?

Answer 1

Enchufe las longitudes laterales en la fórmula de Bretschneider:

[matemáticas] K = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) – abcd \ cdot \ cos ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha + \ gamma} {2} \ right)} [/ math ]

Aquí, s es el semiperímetro, a, b, c, d son las longitudes de los lados, y [math] \ alpha [/ math] y [math] \ gamma [/ math] son ​​dos ángulos opuestos. Debido a que el término coseno desaparecerá cuando [math] \ alpha + \ gamma = \ pi [/ math], simplemente podemos elegir los ángulos para que los ángulos opuestos sumen a [math] \ pi [/ math], maximizando así esta fórmula. La fórmula resultante es:

[matemáticas] K = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)} [/ matemáticas]

Esta fórmula simplificada para el área de un cuadrilátero cíclico se llama fórmula de Brahmagupta. ¡Esto puede parecer un poco familiar si has visto la fórmula de Heron antes! Esto no debería ser una gran sorpresa, ya que tomar d = 0 reducirá nuestro cuadrilátero a un triángulo, y la fórmula anterior a la fórmula de Heron.

Vale la pena señalar (y es fácil de probar) que cuando los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman [math] \ pi [/ math], todos sus vértices deben estar en el mismo círculo. Esto lo convierte en un cuadrilátero cíclico. De hecho, el área de un enlace poligonal siempre se maximiza cuando sus vértices caen en un círculo. Este es un teorema debido a Cramer, y puedes encontrar un boceto de su prueba aquí.

Dado que nuestro cuadrilátero debe ser cíclico en este caso, siempre podemos pensar en construir un cuadrilátero de área máxima como tomar un triángulo y el círculo a través de sus vértices, y luego pegar un triángulo más a uno de los lados seleccionando otro vértice en el mismo círculo