¿Es posible demostrar que las diagonales de un paralelogramo no son necesariamente iguales?

Answer 1

Abordemos esto con un modelo físico y una prueba más general: ninguna diagonal de un paralelogramo es igual a menos que sea un paralelogramo recto, que es un rectángulo.

Así que encuentre cuatro bisagras, cuatro piezas de madera y un nivel. Corta la madera para que dos pares de piezas sean congruentes pero diferentes. Unirlos con las bisagras para crear un rectángulo flexible y empujar un lado corto contra una pared vertical desde un piso nivelado (el ángulo de la pared / piso es el correcto). Coloque el nivel en la parte superior, luego deslice la parte superior del rectángulo lejos de la pared una corta distancia, empuje el nivel hacia la pared, nivele la parte superior y marque el punto en la pared donde toca el nivel, es decir, esta es la altitud del paralelogramo acabamos de crear. Rotulamos los puntos:

• F para la esquina que toca el piso y la pared
• B de la esquina inferior lejos de la pared
• T para la esquina superior cerca de la pared
• C para la última esquina en el aire
• W para la marca en la pared.

Por observación vemos que tanto los ángulos exteriores en F y T son agudos ya que están dentro de los ángulos rectos que construimos;

Por lo tanto, el ángulo FTC es un ángulo obtuso como complemento de FTW a lo largo de la línea WTC;

Sabemos por la simetría del paralelogramo que FBC es el mismo ángulo obtuso;

Por observación vemos que la diagonal FC subtiende ángulos congruentes FTC y FBC;

Como sabemos que la suma de los ángulos interiores es 360, la suma de los ángulos congruentes restantes suman menos de 180 y, por lo tanto, son agudos ya que la suma de los dos ángulos obtusos excede 180 por definición y la aritmética de> 90 más> 90 es igual a> 180;

Por observación, la diagonal BT subtiende los dos ángulos agudos;

Podemos concluir que cada ángulo obtuso es mayor que cada ángulo agudo mediante el cálculo anterior;

Afirmo sin demostración de prueba que dentro de los triángulos, los lados más grandes tienen ángulos más grandes, por lo que FC es más grande que BT, ya que las magnitudes de sus ángulos pretendidos difieren respectivamente (recuerdo esto de la geometría de la escuela primaria, pero no me pidas que encuentre ese libro de texto, probablemente fue escrito en papiro);

Por lo tanto, podemos concluir que todas las diagonales de los paralelogramos tienen diferentes longitudes construyendo un ángulo exterior como WTF que acaba de suceder.

Gracias por el A2A.

Answer 2

Puedes probarlo usando vectores. En la figura a continuación, las diagonales son OC y AB. OA es paralelo a BC y OB es paralelo a AC. El vector de posición de ambas diagonales con respecto al origen se puede especificar en términos de los vectores de posición de los puntos A y B. Las componentes de los vectores de posición se consideran positivas (aunque la prueba sigue siendo válida sin esta suposición). Por lo tanto, puede notar claramente que la magnitud de AB es menor que la magnitud de OC ya que está Sustrayendo componentes y luego cuadrándolos; pero en OC AGREGAS componentes y luego los cuadras.

Answer 3

¿Has considerado dibujar uno? Comience con un rectángulo (un paralelogramo con diagonales iguales). Modifique esta forma deslizando el lado superior sobre una distancia muy pequeña, manteniéndola paralela a la base. ¿Qué pasa con las diagonales? Uno se alarga a medida que los dos vértices se separan, mientras que el otro se acorta a medida que la línea que une los dos vértices se acerca a la perpendicular.

Answer 4

Otras respuestas dadas ya son buenas. También quisiera señalar que para demostrar que algo “no es necesariamente así”, todo lo que tiene que hacer es producir un contraejemplo. Dibuje un paralelogramo con ángulos de base de 45 y 135 grados y debería ser bastante fácil de mostrar. Como alguien más dijo, SÓLO es cierto para el caso de ángulos de base de 90 y 90 grados. (un rectángulo)

Answer 5

¡Sí, por supuesto! Simplemente haga que los dos lados paralelos sean iguales, pero mayores / menores que los otros dos lados paralelos. Entonces las diagonales son necesariamente desiguales. Por supuesto, si todos los lados son iguales, tienes un cuadrado o un cuadrado aplastado, ¡y las diagonales son iguales de todos modos!

Answer 6

Las diagonales de un paralelogramo no rectangular no son congruentes. Las diagonales de los rectángulos deben ser congruentes. En un paralelogramo no rectangular, los triángulos formados por las diagonales no serían congruentes porque los ángulos no serían congruentes, por lo que las diagonales no serían congruentes.

Answer 7

Sip. Bastante simple con la ley de cosenos.

Cómo encontrar la longitud de la diagonal de un paralelogramo – ACT Math

Answer 8

Las diagonales de un paralelogramo nunca son iguales. Si son iguales, entonces la figura se convertirá en un cuadrado o un rectángulo.

Answer 9

Si. Dibuja un paralelogramo que no sea un rectángulo y mira la imagen.