Dado cualquier número impar [matemática] 2k + 1 [/ matemática], entonces [matemática] \ langle 2k + 1, 2k (k + 1), 2k (k + 1) +1 \ rangle [/ matemática] es un triple pitagórico . Esto incluye [matemáticas] 2k + 1 = 9, 25, 49, 81, 121, \ ldots [/ matemáticas].
Dados dos números enteros positivos [matemática] a, b [/ matemática], entonces [matemática] \ langle | a ^ 2-b ^ 2 |, 2ab, a ^ 2 + b ^ 2 \ rangle [/ matemática] es a Triple pitagórico
Entonces, dado cualquier triple de Pitágoras [matemática] \ langle a, b, c \ rangle [/ matemática], entonces hay otros tres triples pitagóricos: [matemática] \ langle | a ^ 2-b ^ 2 |, 2ab, c ^ 2 \ rangle [/ math], [math] \ langle b ^ 2,2ac, a ^ 2 + c ^ 2 \ rangle [/ math] y [math] \ langle a ^ 2,2bc, b ^ 2 + c ^ 2 \ rangle [/ math]
Por ejemplo, desde [math] \ langle3,4,5 \ rangle [/ math], puede encontrar [math] \ langle7,24,25 \ rangle [/ math], [math] \ langle16,30,34 \ rangle [/ math] y [math] \ langle9,40,41 \ rangle [/ math].
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Además, para cualquier número par [matemática] 2 ^ ik [/ matemática] (con [matemática] i \ ge1 [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] impar), su cuadrado es [matemática] 2 ^ {2i } k ^ 2 = 2 \ cdot2 ^ {2i-1} k ^ 2 [/ math], utilizando la identidad anterior con [math] a = 2 ^ {2i-1} [/ math] y [math] b = k ^ 2 [/ matemáticas], luego [matemáticas] \ langle | 2 ^ {4i-2} -k ^ 4 |, 2 ^ {2i} k ^ 2,2 ^ {4i-2} + k ^ 4 \ rangle [ / math] es un triple pitagórico.
Para [matemáticas] 2 = 2 ^ 11 [/ matemáticas], es [matemáticas] \ langle4-1,4,4 + 1 \ rangle = \ langle3,4,5 \ rangle [/ matemáticas]
Para [matemáticas] 4 = 2 ^ 21 [/ matemáticas], es [matemáticas] \ langle64-1,16,64 + 1 \ rangle = \ langle63,16,65 \ rangle [/ matemáticas]
Para [matemáticas] 6 = 2 ^ 13 [/ matemáticas], es [matemáticas] \ langle81-4,36,81 + 4 \ rangle = \ langle77,36,85 \ rangle [/ matemáticas]
Para [matemáticas] 8 = 2 ^ 31 [/ matemáticas], es [matemáticas] \ langle1024-1,64,1024 + 1 \ rangle = \ langle1023,64,1025 \ rangle [/ matemáticas]
Para [matemáticas] 10 = 2 ^ 15 [/ matemáticas], es [matemáticas] \ langle625-4,100,625 + 4 \ rangle = \ langle621,100,629 \ rangle [/ matemáticas]
Para [matemáticas] 12 = 2 ^ 23 [/ matemáticas], es [matemáticas] \ langle81-64,144,81 + 64 \ rangle = \ langle17,144,145 \ rangle [/ matemáticas]
Y así.
Y, por supuesto, dado cualquier número par [matemáticas] 2k [/ matemáticas], puede escalar [matemáticas] \ langle3,4,5 \ rangle [/ matemáticas] a [matemáticas] \ langle3k ^ 2,4k ^ 2, 5k ^ 2 \ rangle [/ math], donde [math] 4k ^ 2 [/ math] es un cuadrado.
Para cualquier triple [matemática] \ langle a, b, c \ rangle [/ math], también [math] \ langle a ^ a, ab, ac \ rangle [/ math], [math] \ langle ab, b ^ 2 , c \ rangle [/ math] y [math] \ langle ac, bc, c ^ 2 \ rangle [/ math] funcionan.
Entonces, no solo hay más de uno. Hay muchos. Hay un triple pitagórico primitivo (irreductible) por cada cuadrado [matemáticas] k ^ 2 \ ge4 [/ matemáticas], y para muchos hay más.
\ begin {align}
& \ langle1,0,1 \ rangle \\
& \ langle4,3,5 \ rangle \\
& \ langle9,40,41 \ rangle \\
& \ langle16,63,65 \ rangle \\
& \ langle25,312,313 \ rangle && \ langle7,24,25 \ rangle \\
& \ langle36,77,85 \ rangle \\
& \ langle49,1200,1201 \ rangle \\
& \ langle64,1023,1025 \ rangle \\
& \ langle81,3280,3281 \ rangle \\
& \ langle100,621,629 \ rangle \\
& \ langle121,7320,7321 \ rangle \\
& \ langle144,17,145 \ rangle \\
& \ langle169,14280,14281 \ rangle && \ langle119,120,169 \ rangle \\
& \ langle196,2397,2405 \ rangle \\
& \ langle225,25312,25313 \ rangle && \ langle225,272,353 \ rangle \\
& \ langle256,16383,16385 \ rangle \\
& \ langle289,41760,41761 \ rangle && \ langle161,240,289 \ rangle \\
& \ langle324,6557,6565 \ rangle \\
& \ langle361,65160,65161 \ rangle \\
& \ langle400,561,689 \ rangle
\ end {alinear}