“Un diámetro de círculo de 10 se ajusta exactamente en un cuadrado de longitud 10. ¿Cuál es el área de un círculo más grande que cabe dentro del cuadrado fuera del círculo?”
Creo que la forma en que se formula la pregunta no es lo que quisiste decir. El círculo más grande que cabe dentro del cuadrado es el círculo ya mencionado, cuya área es solo [matemática] π \ veces 5 ^ 2 [/ matemática] = 78.54
Sospecho que lo que quieres decir es cuál es el área del círculo más grande en el que se ajusta el cuadrado (uno que solo toca las esquinas del cuadrado).
Es fácil de resolver: el radio de este nuevo círculo externo es [matemática] \ sqrt {5 ^ 2 + 5 ^ 2} [/ matemática] que es [matemática] \ sqrt {50} [/ matemática]
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Entonces su área es [matemática] π \ veces 50 [/ matemática] = 157.08
Esto es exactamente el doble del área del círculo interno inscrito.
Puede obtener este resultado sin calcular las áreas reales. Si llamamos al radio del círculo más pequeño r, y al radio del círculo exterior R, entonces [matemática] R = \ sqrt {r ^ 2 + r ^ 2} = r \ sqrt {2} [/ matemática]
La relación de las dos áreas es [matemática] \ dfrac {πr ^ 2} {πR ^ 2} = \ dfrac {r ^ 2} {(r \ sqrt {2}) ^ 2} = \ dfrac {1} {2 }[/matemáticas]
Editar: ahora me he topado con su diagrama, me doy cuenta de que he respondido la pregunta incorrecta. Consejo: no extienda una pregunta en los comentarios, use el campo de información extendida, de esa manera podemos ver los archivos adjuntos. Volveré a cargar su diagrama aquí para que tengamos la oportunidad de ver de qué está hablando.
Este problema es un poco más difícil.
Necesitamos encontrar una expresión para el radio del círculo pequeño.
Podemos ver que el círculo pequeño está sentado en la esquina de un triángulo rectángulo. Todo lo que sabemos es la altura, a. Pero el radio del círculo forma otro ángulo recto con el lado, cuyo ángulo a un sabemos que es 45 ° (la mitad de 90 °). Por lo tanto, la distancia desde el punto tangente a la esquina también es r.
Por lo tanto [matemáticas] a – r = \ sqrt {r ^ 2 + r ^ 2} = r \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] a = r + r \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Pero del problema original sabemos que a – es [matemática] R \ sqrt {2} – R [/ matemática], donde R es el radio del círculo grande.
[matemáticas] R \ sqrt {2} – R = r + r \ sqrt {2} = R (\ sqrt {2} – 1) = r (1+ \ sqrt {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] r = \ dfrac {R (\ sqrt {2} – 1)} {(\ sqrt {2} + 1)} [/ matemáticas]
para R = 5, r = 0.8579
Por lo tanto, el área del círculo pequeño es [matemática] πr ^ 2 = π \ veces 0.8579 ^ 2 = 2.312 [/ matemática]
