¿Por qué el volumen de un cono es 1/3 del volumen de un cilindro si la altura y el radio son iguales?

Answer 1

De un lugar maravilloso.

Una pirámide o cono bidimensional es un triángulo, y su “volumen” (área) es la mitad de la altura por la base. En tres dimensiones (su caso) es un tercio de altura por base. En cuatro dimensiones en su cuarto … y así sucesivamente.

Esto hace que sea muy fácil recordar la fórmula, es la altura por la base dividida por el número de dimensiones.

Esto es bastante fácil de probar usando cálculo; el 1 / n proviene del hecho de que la derivada de x ^ n = nx ^ (n-1).

Arquímedes primero demostró el caso especial de n = 3. Primero usó un argumento de estilo de cálculo de que el volumen de una pirámide, un cono y cualquier forma que se encuentre en un punto debe ser proporcional para ser el área de la base por la altura multiplicada por una constante, y esta constante (que resulta ser 1/3) no depende de la forma de la base.

Luego encontró una manera de cortar un cubo en 3 pirámides de idéntico volumen, y así demostró que esta constante universal es 1/3. Si bien la prueba de cálculo es muy simple, comprender el método de Arquímedes de cortar un cubo en tres pirámides del mismo volumen requiere un modelo físico o más habilidad para visualizar formas tridimensionales que las que tengo yo.

Answer 2

Formalmente, proviene de antiderivada (integral). La integral entra en juego cuando uno intenta descubrir la fórmula para calcular el volumen de sólidos como un cono o una pirámide.

Suponga que la base de un cono es S ahd la altura es H. Suponga que corte el cono en rodajas muy delgadas de altura dh. Entonces el volumen de cada rebanada será igual a su base correspondiente * dh. La base es proporcional a la ubicación del corte entre la base y la parte superior de la pirámide. S ‘(base de un corte) es entonces S’ = S * h ^ 2 / H ^ 2 donde h es la distancia entre la parte superior de la pirámide y el corte dado.

Para calcular el volumen total debemos sumar los volúmenes de todas las rebanadas.

V = S / H ^ 2 * Integral (h ^ 2 * dh) = S / H ^ 2 (1/3 * H ^ 3-0) = S / H ^ 2 * 1/3 * H ^ 3 = 1 / 3 * S * H

Puede aplicar fácilmente un enfoque similar para la pirámide de 2 dimensiones (un triángulo) y ver por sí mismo de dónde proviene 1/2.

Answer 3

El volumen de cualquier sólido “simple” se puede encontrar por el producto de su área base y su altura. Entonces, dado que un cilindro tiene una base circular, su volumen es [matemático] V = \ pi r ^ 2 h [/ matemático].

El volumen de un cilindro también se puede encontrar utilizando el cálculo integrando una sección transversal circular (un disco) donde el diámetro de cada sección transversal es constante a través de sus límites de integración. Esto también se conoce como un “sólido de revolución” en el que una curva (en este caso, una línea horizontal) gira sobre una línea (eje de rotación) creando un sólido (en este caso, un cilindro). La forma más fácil de describir esto sería con una línea horizontal, digamos [matemática] f (x) [/ matemática] [matemática] = 2 [/ matemática] girando sobre el eje x desde [matemática] x = 0 [/ matemática] a [matemática] x = 4 [/ matemática]. Esto crearía un cilindro de radio 2 y altura de 4. El área de la sección transversal es [matemática] A = \ pi [f (x)] ^ 2 [/ matemática]. Entonces el volumen sería:

[matemáticas] V = \ pi \ int_0 ^ 4 2 ^ 2 \, dx = 16 \ pi [/ matemáticas]

El volumen de un cono se encuentra usando las mismas técnicas de integración, excepto que su integrando es la línea [math] f (x) = \ frac {1} {2} x [/ math]. Esto crearía un cono con radio 2 y altura 4. Entonces el volumen sería:

[matemáticas] V = \ pi \ int_0 ^ 4 (\ frac {x} {2}) ^ 2 \, dx = \ frac {16} {3} \ pi [/ matemáticas].

Si compara los dos volúmenes, verá que el volumen del cono es un tercio del del cilindro.

Si alguien tiene una prueba geométrica rigurosa de esto, estaría ansioso por verla.

Answer 4

Proviene de integrar (en el sentido del cálculo) una serie infinita de “cortes” del cono o pirámide, cuya área es proporcional al cuadrado de las dimensiones de la figura.
La integración de x-cuadrado producirá x-cubed / 3, por lo que es probable que aparezca un coeficiente de 1/3 en cualquier medición de volumen que se calcule de esta manera.
Vea mi respuesta en el volumen de una esfera.
Si el área de un círculo es radio ^ 2 * pi, ¿por qué el volumen de una esfera no es radio ^ 3 * pi en lugar de 4/3 pi * r ^ 3?

Answer 5

Buscando en la web una ilustración del cubo cortado dos veces (ver más abajo), encontré este sitio: https://math.stackexchange.com/q …

Aquí me gustaría ilustrar con geometría, que un cono tiene un tercio del volumen de un cilindro, dado que tiene

– el mismo diámetro en la base,

– La misma altura,

– la punta del cono está en el centro perfecto del círculo delimitando la parte superior del cilindro, y

– el cilindro se ajusta herméticamente.

Primero comencemos con el equivalente cuadrado, una pirámide en un cubo.

Recortemos una pirámide del cubo. Mientras lo hace, observe los volúmenes de las piezas que cortamos.

Para fines ilustrativos, echemos un vistazo a nuestro querido amigo de los años 80, el cubo de Rubic:

Primero, córtalo en dos trozos cortando por el medio de la superficie roja Y azul. Terminarás reduciendo a la mitad el volumen y algo como esto:

Ambos volúmenes, del cubo y de la pirámide, se cortan por la mitad.

Ahora córtelo nuevamente por la mitad cortando a través del centro del campo blanco Y la superficie roja restante, terminando con:

De nuevo, ambos volúmenes, del cubo y de la pirámide, se cortan por la mitad.

Ahora podemos construir tres tetraedros con los siguientes puntos de esquina:

– ABCDI

– ABHCF, y

– ABHDG.

Todos tienen las mismas dimensiones, por lo tanto, el mismo volumen. Pero solo uno, el primer tetraedro, encarna el espacio, también conocido como volumen, de la pirámide. Sumando los tres tetraedros, terminaremos con el volumen del cubo. Por lo tanto, la pirámide consume solo un tercio del volumen del cubo.

Mirándolo desde un ángulo ligeramente diferente, veremos esos tres tetraedros:

En los tiempos de Eudoxus, este último probablemente carecía del principio de Cavalieri, por lo tanto, tomemos dos enfoques diferentes (o experimentos mentales) para terminar con un cono y un cilindro:

– Consideremos la misma construcción, pero no con una pirámide con 4 lados en la base, sino 8, luego 16, luego 32, y gradualmente aumentemos el número hasta casi el infinito, solo para ver que la relación de los volúmenes permanece fija en un tercio.

– Hagamos girar la pirámide, sin notar nada en la relación de los cambios de volúmenes, y hagamos girar cada vez más rápido, hasta que solo veamos un cilindro y un cono, con la misma relación de volúmenes.

Quizás cometí un error en el último paso, pero esto me parece bastante plausible. De todos modos, en el sitio mencionado anteriormente ( https://math.stackexchange.com/q …), encontrará más información y detalles.

Answer 6

Considere una pirámide con una base irregular. El perímetro de la base será proporcional a la altura perpendicular de la pirámide.

es decir, [matemáticas] p = k_1 h [/ matemáticas]

y el área de la base será proporcional al cuadrado de su perímetro.

es decir, [matemáticas] A = k_2 p ^ 2 = k_2 (k_1 h) ^ 2 [/ matemáticas]

Si tomamos una rebanada de grosor [matemática] dx [/ matemática] a una distancia [matemática] x [/ matemática] del vértice de la pirámide, entonces el volumen elemental de esa rebanada estará dado por:
[matemáticas] dV = A (x) dx = k_2 k_1 ^ 2 x ^ 2 dx [/ matemáticas]

La integración nos da [math] \ displaystyle V = \ int_0 ^ h (k_2 k_1 ^ 2 x ^ 2) dx [/ math]

Entonces [matemáticas] \ displaystyle V = \ frac13 k_2 k_1 ^ 2 h ^ 3 = \ frac13 (k_2 (k_1 h) ^ 2) h [/ matemáticas]

que se simplifica a [matemáticas] \ displaystyle V = \ frac13 A h [/ matemáticas]

Answer 7

¿Está familiarizado con el cálculo – integrales, en particular?

Supongamos que es una pirámide cuadrada con base a y altura h, y, como es más fácil de esa manera, supongamos que se encuentra de frente, con su punta en el punto cero. (Esta suposición no tiene impacto en su volumen).

Para calcular el volumen, debe integrar x ^ 2 sobre y, desde x = 0 (en la punta, es decir y = 0) hasta x = a (en la base, es decir, y h). El resultado es un ^ 2 * h * 1/3.

El 1/3 viene de integrar x ^ 2.

Answer 8

El volumen de un cilindro viene dado por (pi) r ^ 2h mientras que el de un cono es (1/3) (pi) r ^ 2h. Para el mismo radio de la base y la altura, el volumen de un cono es un tercio del de un cilindro.

Answer 9

Si alguna vez has visto un cono y un cilindro, sabrás por qué sus volúmenes son diferentes.

El radio de las secciones transversales circulares del cono disminuye constantemente a medida que avanzamos hacia su parte superior. Ese no es el caso con un cilindro. Entonces, naturalmente, el volumen de un cono será menor que el de un cilindro (con el mismo radio y altura base).

¿Por qué es un tercio del cilindro? Eso se puede calcular a través de una integración simple. Considera esta figura

Suponga que el cono está formado por un número infinito de anillos circulares (grosor infinitamente pequeño) de radio decreciente apilados uno encima del otro. Entonces su grosor puede considerarse como un elemento diferencial infinitamente pequeño, digamos [math] dx [/ math]

El área del círculo a una distancia [matemática] x [/ matemática] desde la base será [matemática] \ dfrac {\ pi r ^ 2 (hx) ^ 2} {h ^ 2} [/ matemática] como se muestra en el diagrama encima.

Por lo tanto, el volumen de esta tira infinitesimalmente pequeña será [matemática] \ dfrac {\ pi r ^ 2 (hx) ^ 2} {h ^ 2} \ cdot dx [/ matemática]

Agregar los volúmenes de todas esas tiras de [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] x = h [/ matemáticas] (en otras palabras, integrarlas) nos dará el volumen del cono [matemáticas] (V_ { cono}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto V_ {cono} = \ displaystyle \ int_0 ^ h \ dfrac {\ pi r ^ 2 (hx) ^ 2} {h ^ 2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica V_ {cono} = \ dfrac {\ pi r ^ 2} {h ^ 2} \ displaystyle \ int_0 ^ h (hx) ^ 2 \: dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica V_ {cono} = \ dfrac {\ pi r ^ 2} {h ^ 2} \ cdot \ dfrac {(hx) ^ 3} {3} \ bigg | _0 ^ h [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica V_ {cono} = \ dfrac {\ pi r ^ 2} {h ^ 2} \ cdot \ dfrac {h ^ 3} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica V_ {cono} = \ dfrac {\ pi r ^ 2h} {3} [/ matemáticas]

Ahora sabemos que el volumen del cilindro [matemático] (V_ {cilindro}) [/ matemático] viene dado por [matemático] \ pi r ^ 2h [/ matemático] (si no, puede probarse de manera similar)

Claramente [matemáticas] \ dfrac {V_ {cono}} {V_ {cilindro}} = \ dfrac {\ pi r ^ 2h} {3} \ cdot \ dfrac {1} {\ pi r ^ 2h} = \ dfrac {1 } {3} [/ matemáticas]

Esta es la razón por la cual el volumen del cono es [matemático] \ bigg (\ dfrac {1} {3} \ bigg) ^ {rd} [/ matemático] del volumen de un cilindro con el mismo radio base y altura.

Answer 10

El volumen de un cono se puede encontrar de muchas maneras,

Uno es simplemente integrar un disco con ancho dx sobre todo el cono con radio variable.

Otro enfoque es una forma más práctica, en la que usamos arena o agua para llenar un cilindro y un cono y así descubrir la relación entre sus volúmenes.

Después de este enfoque, descubrirá que es 1/3 del cilindro que habría hecho que el radio permaneciera constante hasta su vértice.

Bueno, esto podría ser solo una coincidencia, pero seamos prácticos. El volumen del cono habría sido directamente proporcional a pi ya que los círculos están involucrados y el radio elevado a la potencia cuadrada, así como a la altura del cono.

Entonces, en cualquier caso, saldría como un factor del volumen del cilindro y salió 1/3 del volumen del cilindro.

Entonces, simplemente declarando según mí este factor 1/3 no tiene importancia física.

Por favor, corríjame si estoy equivocado.

Answer 11

Volumen de un cono

Ane es una forma geométrica tridimensional que se estrecha desde una base plana hasta un punto llamado vértice o vértice, y aquí aprenderemos cómo encontrar el volumen del cono. Un cono está formado por un conjunto de segmentos de línea, medias líneas o líneas que conectan un punto común, el vértice, con todos los puntos en una base que se encuentra en un plano que no contiene el ápice.

El cono es una estructura tridimensional que tiene una base circular. Un cono se puede ver como un conjunto de discos circulares no congruentes que se apilan unos sobre otros de tal manera que la relación del radio de los discos adyacentes permanece constante. Puedes pensar en un cono como un triángulo que se gira sobre uno de sus vértices. Ahora, piense en un escenario en el que necesitemos calcular la cantidad de agua que puede acomodarse en un matraz cónico. En otras palabras, queremos calcular la capacidad de este matraz. La capacidad de un matraz cónico es básicamente igual al volumen del cono involucrado. Por lo tanto, el volumen de una forma tridimensional, en general, es igual a la cantidad de espacio ocupado por esa forma. Realicemos una actividad para calcular el volumen de un cono,

Tome un recipiente cilíndrico y un matraz cónico de la misma altura y el mismo radio de base. Agregue agua al matraz cónico de modo que se llene hasta el borde. Comience a agregar esta agua al recipiente cilíndrico que tomó. Notarás que no llena el contenedor por completo. Intente repetir este experimento una vez más, aún observará algo de espacio vacante en el contenedor. Repita este experimento una vez más; Esta vez notará que el recipiente cilíndrico está completamente lleno. Por lo tanto, se puede decir que el volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro que tiene el mismo radio y altura base.

En general, un cono es una pirámide con una sección transversal circular. Un cono derecho es un cono con su vértice sobre la superficie. Cuando no se menciona un “cono” se conoce como un “cono derecho”.

Puede averiguar fácilmente el volumen del cono si tiene las medidas de su altura y radio y ponerlo en una fórmula.

Volumen de un cono = 1/3 πr2h

¿Cómo se relaciona el volumen del cono y el volumen de un cilindro?

El volumen de un cono es 1/3 πr2h donde r es el radio del cono en el
extremo más ancho del cono. Mira cuán similar es la fórmula de un cono a la fórmula de un cilindro. Como puede ver, solo 1/3 es extra aquí. ¿Para qué es eso? Bueno, un extremo es un círculo y uno es un punto. Eso significa que 1/3 del volumen de un cilindro es un cono. En otras palabras, necesitas tres conos para hacer un cilindro.

Answer 12

El volumen de un cilindro es 3 veces el volumen de un cono con la misma altura y radio.

[matemáticas] Prueba: – [/ matemáticas]

[matemática] Volumen del cilindro = \ pi * r ^ 2 * h [/ matemática]

[math] Volumen del cono = \ pi * r ^ 2 * h * \ dfrac {1} {3} [/ math]

[matemática] \ dfrac {Volumen del cilindro} {Volumen del cono} = \ dfrac {\ pi * r ^ 2 * h} {\ pi * r ^ 2 * h * \ dfrac {1} {3}} [/ math]

Resolviendo el volumen del cilindro

[matemática] Volumen del cilindro = 3 * Volumen del cono [/ matemática]

[matemáticas] QED. [/ matemáticas]

Answer 13

Una buena manera de hacer esto es considerar la pirámide de base cuadrada de longitud base [matemática] k [/ matemática] y altura [matemática] k / 2 [/ matemática]. Puede caber 6 de estos en un cubo de lado [matemáticas] k [/ matemáticas].

Entonces, si [math] V [/ math] es el volumen de esta pirámide tenemos

[matemáticas] V = \ frac16 k ^ 3 [/ matemáticas]

Si luego estiramos hacia arriba por un factor [matemático] \ frac {2h} {k} [/ matemático] de modo que la altura es [matemática] h [/ matemático], el volumen se escalará en el mismo factor. El volumen de esto es

[matemática] V ‘= \ frac13 hk ^ 2 [/ matemática]

es decir, un tercio del área de la base por la altura. (para una pirámide de base cuadrada)

Ahora para cono circular, y de hecho cualquier otro cono, podemos usar el principio de Cavalieri.

Suponga que dos regiones en tres espacios (sólidos) están incluidas entre dos planos paralelos. Si cada plano paralelo a estos dos planos intersecta ambas regiones en secciones transversales de igual área, entonces las dos regiones tienen volúmenes iguales.

Si queremos encontrar un cono circular que tenga la misma área de base que la pirámide de base cuadrada y la misma altura. Entonces, la sección transversal a cualquier altura será la misma, ya que ambas son proporcionales a sus áreas de base. Luego, siguiendo el principio de Cavalieri, ambos tendrán el mismo volumen.

Obtuve esta prueba bastante buena de la excelente medición del maestro de matemáticas Paul Lockhart.

——

Colocar 3 pirámides en un cubo es un poco más complicado de visualizar. En un cubo, construya la diagonal de (0,0,0) a (1,1,1).

Las pirámides tienen bases cuadradas y la diagonal como un borde.

Answer 14

Si piensas desde el punto matemático de ti, es difícil para mí explicarlo.

Pero si lo ves desde el punto visual de ti, creo que este video lo explica de maravilla.

Answer 15

Principalmente porque si usara 1/2 en lugar de 1/3, por ejemplo, la respuesta que obtendrá será 1.5 veces demasiado grande. Entonces, tendría que multiplicar su respuesta por 2/3 para obtener la respuesta correcta. Me alegro de ayudar 🙂

Answer 16

Para obtener la respuesta de la pregunta anterior, calculemos el volumen y el cilindro y el volumen del cono por separado y deduzcamos una relación entre ellos. Estaría usando Cálculo para lo mismo.

Supongamos tanto para el cilindro como para el cono:

              Radio del cilindro / cono : [matemática] R [/ matemática]

Altura del cilindro / cono : [matemática] H [/ matemática]

1. Volumen del cilindro

Básicamente, un cilindro está compuesto de varios discos, cada uno del mismo radio ([matemática] R [/ matemática]) colocados uno sobre el otro.

Supongamos que cada disco tiene una altura [matemática] “dh” [/ matemática]

Entonces, para obtener su volumen, necesitamos integrar el área de los discos sobre su altura ([math] H [/ math]).

Área de disco único:

[matemáticas] A = \ pi R ^ 2 [/ matemáticas]

Volumen del cilindro:

[matemáticas] V = \ int_0 ^ H \ pi R ^ 2 \, dh [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ pi R ^ 2 \ int_0 ^ H \, dh [/ matemáticas]

[matemáticas] V = \ pi R ^ 2H [/ matemáticas]

Volumen del cilindro [matemática] = \ pi R ^ 2H [/ matemática]

1. Volumen del cono

Podemos suponer que el cono está construido con discos de grosor infinitesimal apilados uno encima del otro, con el disco más grande con radio [matemática] R [/ matemática] a la altura [matemática] h = H [/ matemática] y el más pequeño con radio [matemática] 0 [/ matemática] a la altura [matemática] h = 0 [/ matemática].

Radio del disco más grande [matemática]: R ([/ matemática] a la altura [matemática] h = H) [/ matemática]

Radio del disco más pequeño [matemática]: 0 ([/ matemática] a la altura [matemática] h = 0) [/ matemática]

El radio de cualquier disco intermedio, “[math] r [/ math] “ se puede escribir como

[matemáticas] r = R (h / H) [/ matemáticas]

El volumen de un solo disco, [math] dV [/ math] es

[matemáticas] dV = \ pi R ^ 2dh = \ pi R ^ 2. (H / R) dr [/ matemáticas]

y el volumen del cono se obtiene integrando (sumando) el volumen de cada uno de los discos

[matemáticas] V = \ int dV [/ matemáticas]

[matemática] V = \ int \ pi R ^ 2 (H / R), dr [/ matemática]

[matemáticas] V = \ pi H / R \ int_0 ^ R \ pi R ^ 2 \, dr [/ matemáticas]

[matemáticas] V = 1/3 \ pi R ^ 2H [/ matemáticas]

Volumen del cono [matemática] = 1/3 \ pi R ^ 2H [/ matemática]

Entonces, de las dos derivaciones anteriores, podemos decir que

Volumen del cono = 1/3 del volumen del cilindro

Answer 17

Este video hace un gran trabajo mostrando de dónde viene:

Volumen de una pirámide, derivando la fórmula por mathematicsonline – 2016-05-12