¿Cuál es la interpretación geométrica de la ecuación cuadrática?

Answer 1

Déjalo ser

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

con raíces [matemáticas] x_1, x_2 [/ matemáticas]. El gráfico [math] f – [/ math] es una parábola:

Transferimos el gráfico [matemático] f – [/ matemático] paralelo al eje [matemático] x – [/ matemático], de modo que el eje [matemático] y – [/ matemático] se convierta en el eje de su simetría. Esto se realiza mediante el argumento [math] f (x + h) [/ math] para un cierto valor [math] h [/ math]:

donde [matemáticas] x_1 + h, x_2 + h [/ matemáticas], son las raíces de

[matemáticas] f (x + h) = (x + h) ^ 2 + b (x + h) + c = 0 [/ matemáticas]

Como [math] b = – x_1 – x_2 [/ math], el coeficiente correspondiente de [math] f (x + h) [/ math] será cero (porque las raíces son simétricas respecto al origen), por lo que solo uno de los términos de [math] f (x + h) = 0 [/ math] contendrán una variable desconocida, por lo tanto, se resuelve fácilmente. Entonces, las raíces de [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] resultan agregando el término [matemáticas] h [/ matemáticas] a las raíces de [matemáticas] f (x + h) = 0 [/ matemáticas]. Para encontrar el valor de [math] h [/ math] escribimos [math] f (x + h) [/ math] en el siguiente formato.

[matemáticas] f (x + h) = x ^ 2 + (b + 2h) x + h ^ 2 + bh + c = 0 [/ matemáticas]

Es obvio que el coeficiente [matemática] b + 2h [/ matemática] es cero si [matemática] h = -b / 2 [/ matemática]. Entonces tendremos

[matemáticas] f (x – \ frac {b} {2}) = x ^ 2 – (\ frac {b} {2}) ^ 2 + c = 0 [/ matemáticas]

que tiene soluciones

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(\ frac {b} {2}) ^ 2 – c} [/ matemáticas]

Entonces, las soluciones de [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] serán

[matemáticas] – \ frac {b} {2} \ pm \ sqrt {(\ frac {b} {2}) ^ 2 – c} [/ matemáticas]

Answer 2

No lo hace Aunque podría agregar un área a una longitud, no tendría una interpretación práctica. Solo se pueden agregar o comparar elementos con las mismas unidades. Sin embargo, dividir y multiplicar son significativos. Divide el área de un rectángulo por su longitud, por ejemplo, y obtienes su altura. Multiplique el área de una cara de un rectángulo por una longitud y obtendrá el volumen de un cuboide con una cara igual que el rectángulo original y la longitud de los lados en ángulo recto a la longitud dada.

Pero eso no tiene nada que ver con una ecuación cuadrática. También sospecho que podría estar confundiendo una función con una ecuación.

Una función cuadrática se define más o menos así: f (x) = 3x ^ 2 + 7x – 4. Puede pensar en ella como una máquina que devuelve un número cuando ingresa otro número. Por ejemplo, si le da el número 2, devuelve 22.

Una ecuación cuadrática se ve así: 3x ^ 2 + 7x – 4 = 0 o 3x ^ 2 + 9x = 2x + 4, que son formas equivalentes de definir la misma ecuación. La idea de una ecuación en x es que desea encontrar valores de x para los que sea cierto.

La palabra “THE” no es apropiada para una interpretación de una función o una ecuación. Cualquier problema práctico que conduzca a una función o una ecuación es una posible aplicación. Hay muchos problemas geométricos para los cuales la ecuación es cuadrática. Por ejemplo, encuentre las dimensiones de un rectángulo que tiene un área de 18 m 2 y un perímetro de 22 m.