Por supuesto. Es más claro lo que sucede cuando usamos la forma racional de la fórmula de Heron, sin la raíz cuadrada. A veces se llama la fórmula de Arquímedes. Derivemoslo de Heron.
Tenemos [math] s = \ dfrac {a + b + c} {2} [/ math] y
[matemáticas] A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ matemáticas]
[matemáticas] A ^ 2 = \ left (\ dfrac {a + b + c} {2} \ right) \ left (\ dfrac {-a + b + c} {2} \ right) \ left (\ dfrac { a – b + c} {2} \ right) \ left (\ dfrac {a + b – c} {2} \ right) [/ math]
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[matemáticas] 16A ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] (a + b + c) (- a + b + c) (a – b + c) (a + b – c) [/ matemáticas]
[matemática] 16A ^ 2 [/ matemática] es una cantidad fundamental, abrevémosla [matemática] \ def \ A {\ matemática {A}} \ A. [/ matemática]
Después de un poco de álgebra, que he hecho tantas veces en Quora, no me molestaré en volver a hacerlo aquí (pero es posible que desee hacerlo), podemos obtener muchos formularios para [math] \ A. [/ Math] Vamos a mostrar un Pareja:
[matemáticas] \ A = [/ matemáticas] [matemáticas] 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 – 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) [/ matemáticas]
La forma asimétrica nos es útil aquí:
[matemáticas] \ A = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]
Para un triángulo rectángulo con [matemáticas] c [/ matemáticas] como la hipotenusa, el segundo término es obviamente cero. Entonces
[matemáticas] 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ frac 1 2 ab [/ matemáticas]
que por supuesto es correcto para un triángulo rectángulo.
Una cosa interesante sobre la fórmula de Arquímedes es que se cae del caso unidimensional. Si [matemática] a, [/ matemática] [matemática] b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son las distancias (o diferencias) entre tres puntos en la recta numérica, forman un triángulo degenerado, entonces [matemáticas] \ A = 0. [/ matemáticas]
Entonces comenzamos desde [matemática] a = b + c [/ matemática] o [matemática] b = a + c [/ matemática] o [matemática] c = a + b [/ matemática] o (en la distancia o desplazamiento con signo) caso) [matemáticas] a + b + c = 0. [/ matemáticas] Observe cómo se relacionan con los factores que obtuvimos cuando cuadramos la fórmula de Heron.
Simplemente elegimos uno y seguimos cuadrando hasta que todas las variables estén al cuadrado.
[matemáticas] c = a + b [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 = 2ab [/ matemáticas]
[matemáticas] (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 = 4a ^ 2 b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]
Como indicamos anteriormente, esto es realmente simétrico y captura los cuatro casos de puntos colineales. No es cero cuando los puntos no son colineales, donde es igual a [matemática] \ A. [/ Matemática]
Tenga en cuenta que cuando [math] \ A [/ math] es negativo, esto nos dice que tenemos un triángulo imposible, donde los dos lados cortos no se suman al lado largo.